2001年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题及解析
一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)
1、设y?ex(asinx?bcosx)(a,b为任意常数）为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____________.
【分析】这是二阶常系数线性齐次微分方程求解的逆问题，主要考查二阶常系数线性齐次微分方程特征方程与特征根的概念以及由通解形状要能看出对应的特征根。由于二阶常系数线性齐次方程由其特征方程唯一确定，因此由通解表达式得到对应的特征值后，确定方程，从而得到待求微分方程。
【详解】根据二阶常系数线性齐次方程特征根与通解的对应关系可得：特征根为
?12?1?i，于是特征方程为(??1?i)(??1?i)?0，即?2?2??2?0。
故对应齐次微分方程为：y???2y??2y?0。 2、r?x2?y2?z2，则div(gradr)(1,?2,2)= _____________.
【分析】考查散度与梯度公式与计算。直接套用公式即可。 【详解】由于gradr?{xx?y?z222,yx?y?zyx?y?z222222,??zzx?y?zz222}
所以div(gradr)??x???xx2?y2?z2?yy2?z2(x?y?z)2223?x?y?zx2?y2
222
??x2?z2(x?y?z)2223?(x?y?z)2223 ?2x?y?z(1,?2,2)222 因此div(gradr)?2 33、交换二次积分的积分次序：
?0?1dy?1?y2f(x,y)dx＝_____________.
【分析】考查直角坐标系下交换积分次序。由于x的积分下限大于积分上限，无法画出积分区域的草图，只需先交换一下先积的定积分的上下限即可。 【详解】由于
?0?1dy?21?y2f(x,y)dx???dy??1021?yf(x,y)dx
对二次积分
?0?1dy?1?y2??1?y?0，于是 f(x,y)dx对应的二重积分的积分域为D:?1?y?x?2?01?x?
0?1dy?21?yf(x,y)dx??dx?1f(x,y)dy。
1
从而
?0?1dy?1?y2f(x,y)dx???dx?1201?xf(x,y)dy。
4、设A?A?4E?0，则(A?E)?1= _____________.
【分析】考查矩阵的简单运算。已知矩阵等式求逆，一般思路设法从A?A?4E?0中分离出因式A?E，即将其改写成(A?E)B?E，即可。
【详解】因为A2?A?4E?(A?E)2?3(A?E)?2E?(A?E)(A?2E)?2E 所以由A?A?4E?0，可得(A?E)(222A?2EA?2E)?E，从而(A?E)?1?。 225、D(X)?2，则根据切比雪夫不等式有估计P{X?E(X)?2}? _____________. 【分析】本题考查切比雪夫不等式PX?EX???【详解】根据切比雪夫不等式PX?EX?2???D(X)?2。
??D(X)1?。 222二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题
目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
1、 设函数f(x)在定义域内可导，y?f(x)的图形如右下图所示：
则y?f?(x)的图形为
(A) (B)
(C) (D)
2
【分析】考查导数的应用。只要掌握单调判定定理则易得答案。
【详解】由题设图形可见：当x?0时，f(x)单增，从而f?(x)?0，所以（A）、（C）不正确；
而在x?0初期，f(x)单增，从而f?(x)?0，所以（B）不对。 因此应选（D）.
2、设f(x,y)在点(0,0)的附近有定义，且fx?(0,0)?3,fy?(0,0)?1则 （Ａ）dz(0,0)?3dx?dy
（Ｂ） 曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为{3,1,1}
（Ｃ）曲线??z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{1,0,3}
?y?0?z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的切向量为{3,0,1}
?y?0 （Ｄ）曲线?【分析】本题综合考查偏导数与可微的关系及偏导数的几何应用。 【详解】由于偏导数存在不一定可微，所以（Ａ）不正确 ；
而曲面z?f(x,y)在(0,0,f(0,0))处的法向量为与下向量平行的非零向量
?n???fx?(0,0),fy?(0,0),?1????3,1,?1?
所以（Ｂ）不对；
?z?f(x,y)曲线?在(0,0,f(0,0))处的切向量为与下向量平行的非零向量
y?0?
????3,1,?1???0,1,0????1,0,3?
?所以（Ｄ）错，（Ｃ）对。
故应选（Ｃ）。
3、设f(0)?0则f(x)在x?0处可导的充要条件为
f(1?cosh)f(1?eh) （Ａ）lim存在 （Ｂ）lim存在
h?0h?0h2h （Ｃ）limf(h?sinh)f(2h)?f(h)lim存在 （Ｄ）存在
h?0h?0hh2f(x)【分析】本题考查导数的定义。当f(0)?0时，f(x)在x?0处可导?lim存在，
x?0x因此只需找出四个备选答案中与该极限存在等价的哪个。
3
f(1?cosh)f(1?cosh)?1coshlim?存在存在（由于?h?01?coshh?0h2h21?cosh?xf(1?cosh)f(x)1?coshlim?limlim非零）存在存在，所以（Ａ）不正确； ?2?h?0h?0x?0x?01?coshxh【详解】 由于limf(1?eh)f(1?eh)1?eh1?eh?由于lim存在?lim存在（由于lim非零）hh?0h?0h?0h1?ehh1?e?xf(x)f(1?eh)?lim存在存在，所以（Ｂ）正确； ?limh?01?ehh?0?x?0;h?0?x?0x?0xhf(h?sinh)f(h?sinh)h?sinhh?sinhlim?lim存在存在（由于等?222h?0h?0h?0hh?sinhhhh?sinh?xf(h?sinh)f(x)?lim于零）推不出lim存在存在，所以（Ｃ）不正确；
h?0h??x?0,h?0?x?0x?0h?sinhx由于lim对于（Ｄ），令f(x)??确。
因此应选（Ｂ）。
?1,x?0f(2h)?f(h)，则f?(0)不存在，但lim存在，所以不正
h?0h?0,x?0?1?14、设A???1??1111111111??4??1?0?,B??01???1??0000000000??0?，则Ａ与Ｂ 0??0? (A)合同且相似 (B)合同但不相似 (C)不合同但相似 (D)不合同且不相似 【分析】考查矩阵之间的合同与相似的关系。两个同阶实对称矩阵相似的充要条件是他们有相同特征值与重数；两个同阶实对称矩阵合同的充要条件是他们有相同秩及相同的正负惯性指数。
【详解】由于
1??111111111??110??00A??E??(4??)???3(4??)
111??100??01111??000??所以矩阵A的特征值为?1??2??3?0,?4?4。所以存在正交矩阵Q，使得 QAQ?QAQ?B 所以则Ａ与Ｂ合同且相似，故应选（Ａ）。
5、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数， 则X和Y相关系数为
T?1 4
（Ａ）?1 （Ｂ） 0 （Ｃ）
1 （Ｄ）1 2【分析】本题考查随机变量的数字特征。只需注意到Y?n?X，即可得结论。 【详解】由Y?n?X可得，相关系数为?1。也可如下直接计算
因为cov(X,Y)?cov(X,n?X)?E[X(n?X)]?E(X)E(n?X) ?nE(X)?2EX?(E)X(?E n)X ?nE(X)?EX2?nE(X)?(EX)2??DX 于是相关系数??cov(X,Y)?DX?DX????1。
DXDYDXD(n?X)DXDX三、（本题满分6分）
arctanexdx． 求?e2x【分析】考查不定积分。注意被积函数是两种不同类型函数乘积的不定积分，应利用分部积分法。
arctanex11?2x1e?xx?2xxdx???arctanede??earctane??dx 【详解】?2x2xe2221?e1?2x1exx ??earctane??2xdx 2x22e(1?e)1?2x111earctanex??(2x?)dex 2x22e1?e1?2x1?x1xx ??earctane?e?arctane?C
222 ??四、（本题满分6分）
)微，且 设函数z?f(x,y)在点(1,1可
f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3，
?(x)?f(x,f(x,x)，求
d3?(x)dxx?1．
【分析】本题主要考查多元抽象函数的偏导数。按多元复合函数求导公式计算即可。 【详解】 令?(x)?f(u,v),u?x,v?f(m,n),m?x,n?x 则，
?(m,n)?fn?(m,n)] ??(x)?fu?(u,v)?fv?(u,v)[fm由于f(1,1)?1,fx?(1,1)?2,fy?(1,1)?3，所以fv?(1,1)?fn?(1,1)?3，
?(1,1)?2，从而fu?(1,1)?fm五、（本题满分8分）
d3?(x)dx2?3?(1)??(1)?3[2?3(2?3)]?51。 x?15