概率为P(0?p?1)，且中途下车与否相互独立．Y为中途下车的人数，求： Ⅰ）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率； Ⅱ）二维随机变量(X,Y)的概率分布．
【分析】本题考查条件概率公式与相互独立性概念、二项分布公式、泊松分布公式及二维离散型随机变量概率分布的计算。Ⅰ）相当于求条件概率PY?mX?n，而此时
??Y?B(n,p)；Ⅱ）相当于求概率P?X?n,Y?m?。
【详解】Ⅰ）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率，相当于求条件概率PY?mX?n。而由题设知，此条件概率服从二项分布，因此有
mmP?Y?mX?n??Cnp(1?p)n?m,0?m?n,n?0,1,2,3,?
??Ⅱ）利用乘法公式得：
P?X?n,Y?m??P?Y?mX?n?P?X?n?
?Cp(1?p)十二、（本题满分7分）
mnmn?me??n? ，0?m?n,n?0,1,2,3,? n!2设X?N(?,?)，抽取简单随机样本X1,X2,?,X2n(n?2)，样本均值
n12nX?Xi，Y??(Xi?Xn?i?2X)2 ?2ni?1i?1求E(Y)．
【分析】本题考查样本的独立性和同分布性质及数学期望的计算。代入公式计算即可。 【详解】由于Y?n?(Xi?12ini?Xn?i?2X)2
??(Xi?12n22?Xn?4X?2XiXn?i?4XXi?4XXn?i) ?i ??Xi?12n2i?4nX?2?XiXn?i?4X?Xi
2i?1ni?1n2n ??Xi?12n2i?4nX?2?XiXn?i?8nX,(?Xi?2nX)
22i?1i?12n ?
?Xi?12i?2?XiXn?i?4nX2
i?1n11
又由于E(Xi)??，D(Xi)??， E(X)????，D(X)?2nn22i22?22n
所以 E(Y)??E(Xi?12i)?2?E(Xi)E(Xn?i)?4nE(X2)
i?1 ??(?i?122n2??)?2???4n(22i?12n?22n??2)
?4n??2n??4n(
?22n??2)?2(n?1)?2
12