?1?x2arctanx? 设f(x)=?x?1??x?0(?1)n将f(x)展开成x的幂级数，并求?的和． 2x?0n?11?4n【分析】这是连续分段函数展开成幂级数。先在开区间x?0内展开，然后判定展开式
在分段点的和函数值与函数值是否相等，得到函数在分段点是否可以展开。此题在开区间
x?0内，展开arctanx，然后利用幂级数运算性质得到f(x)展开式。
【详解】当x?0时，f(x)?(x?)arctanx，而
?x?11n2nn2n?1arctanx＝? dx?(?1)xdx?(?1)x??2?0n?001?x2n?1n?0x??111n2n?2所以(x?)arctanx??(?1)x??(?1)nx2n
x2n?12n?1n?0n?0?1x ?1?当x?0时，显然 [1???(?1)n?1(n?1n?111?)x2n,0?x?1 2n?12n?1?(?1)n?1?(11?)x2n]2n?12n?1x?0?1?f(0)
所以f(x)?1??(?1)n?1(n?1?11?)x2n,x?1。 2n?12n?1?112又f(1)?1??(?1)(，所以 ?)?1??(?1)n22n?12n?11?4nn?1n?1n?1(?1)n11??[f(1)?1]?[?1]。 ?2222n?11?4n?六、（本题满分7分） 计算I?222222(y?z)dx?(2z?x)dy?(3x?y)dz，其中L是平面 x?y?z?2??L与柱面x?y?1的交线，从Z轴正向看去，L为逆时针方向
【分析】考查空间闭曲线上的第二类曲线积分的计算。此类积分通常可以利用斯托克斯
公式计算；也可以将积分曲线用参数表示，转化为定积分计算。
【详解】令?是平面x?y?z?2，在柱面x?y?1内的部分，取上侧。则由斯托克斯公式可得：
6
I????dydz??xy2?z2?dxdz??y2z2?x2dxdy? ?z3x2?y2 ???(?2y?4z)dxdy?(?2z?6x)dxdz?(?2x?2y)dxdy
由于平面x?y?z?2上任一点的法向量为??1,1,1?，从而有向曲面?上任意点的单位法向量为n0????111?,,?，故 ?333?I?11[(?2y?4z)?(?2z?6x)?(?2x?2y)]ds?(?8x?4y?6z)ds ????3?3? ?13x?y?1??[?8x?y4?6?(x?2ydxdy)]??3x?y?1??12dxdy??24。
评注：对积分曲面是平面，被积函数至少有两个不为零的第二类曲面积分，一般需转化为第一类曲面积分计算。 七、（本题满分7分）
设f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0
证明：Ⅰ）对于?x?(?1,0)?(0,1)，存在惟一的?(x)?(0,1)，使 f(x)=f(0)+xf?(?(x)x)成立； Ⅱ） lim?(x)?x?01． 2【分析】Ｉ）存在性直接用拉格朗日中值定理，唯一性利用f?(x)的单调性可得；Ⅱ）为中值定理中?求极限，一般利用泰勒公式完成。
【详解】Ⅰ）由于f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数，所以对于?x?(?1,0)?(0,1)，
f(t)在区间[0,x]或[x,0]上满足拉格朗日中值定理条件，从而有
f(x)?f(0)?f?[?(x)?x]x,0??(x)?1
又f(x)在(?1,1)内具有二阶连续导数且f??(x)?0，从而f??(x)在(?1,1)内不变号，因此f?(x)在(?1,1)内单调，故?(x)唯一。
Ⅱ）由于f(x)?f(0)?f?(0)x?1f??(0)x2?o(x2) 27
f?(?(x)x)?f?(0)?f??(0)?(x)x?o(x)
1f??(0)x2?o(x2)?f(0)?[f?(0)?f??(0)?(x)x?o(x)]x,即 21f??(0)x2?o(x2)?f??(0)?(x)x2 2所以f(0)?f?(0)x?1f??(0)x2?o(x2)1lim?(x)? 所以?(x)?2，因此。 x?0f??(0)x22八、（本题满分8分）
设有一高度为 h(t)(t为时间）的雪堆在融化过程，其侧面满足方程
2(x2?y2) z?h(t)?（设长度单位为厘米，时间单位为小时），
h(t)已知体积减少的速率与侧面积成正比（系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少时间？
【分析】 题设已知侧面方程，因此已建立了空间直角坐标系。雪堆全部融化，即
h(t)?0。因此需建立h(t)满足的微分方程。根据已知条件，只需将t时刻雪堆的表面积及
体积表示出来，就可以得到方程。
【详解】t时刻雪堆的表面积
2(x2?y2) A(t)???ds，其中?为雪堆的表面，其方程为z?h(t)?
h(t)?则 A(t)?21x?y?h2(t)22??16x2?16y21?dxdy 2h(t) ?1h(t)1x2?y2?h2(t)2??h2(t)?16x2?16y2dxdy
h(t)12? ?d??2h2(t)?16r2?rdr ?0h(t)0h(t)2?22222 ?h(t)?16rd(h(t)?16r) ?032h(t)32?2222?(h(t)?16r) ?32h(t)3h(t)20?132?h(t) 12t时刻雪堆的体积
8
V(t)?则 V(t)????dv，其中?是曲面?与xoy平面围成的立体。
?h(t)0???dv???dz221x?y?[h2(t)?h(t)z]2??dxdy??h(t)011?[h2(t)?h(t)z]dz??h3(t) 24由题设可知
dV(t)??0.9A(t)，即h?(t)??1.3。从而h(t)??1.3t?C dt由于h(0)?130，所以C?130，因此h(t)??1.3t?130。 令h(t)?0可得t?100。
所以高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。 评柱：积分域为旋转体的三重积；或积分域是球体或半球体、椭球体或半椭球体而被积函数是一元函数的三重积通常用先二后一计算。 九、（本题满分6分）
设?1,?2,?,?s为线性方程组AX?0的一个基础解系，?1?t1?1?t2?2，
?2?t1?2?t2?3，?，?s?t1?s?t2?1，其中t1,t2为实常数。试问t1,t2满足什么条件时?1,?2,?,?s也为AX?0的一个基础解系。
【分析】本题主要考查基础解系的概念，一个向量组由另一个线性无关的向量组线性表示时，如何确定前一个向量组的线性无关性及行列式的计算。显然?1,?2,?,?s都是方程组的解，因此只需说明?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s也为AX?0的一个基础解系。而对于抽象的向量组，讨论其线性相关性，一般用定义来完成。
【详解】由于?i(i?1,2,?,s)都是?1,?2,?,?s的线性组合，所以?1,?2,?,?s都是方程组AX?0的解。
设x1?1?x2?2???xs?s?0，则
(x1t1?xst2)?1?(x2t1?x1t2)?2???(xst1?xs?1t2)?s?0
由于?1,?2,?,?s为线性方程组AX?0的一个基础解系，所以线性无关，从而
?x1t1?xst2?0?xt?xt?0?2112 ? （*）
????xst1?xs?1t2?0由于上方程组的系数行列式为
9
t10?0t2t10100?00?t10t2t1?0?0??0000? t1t2t2t1?0? D????00?t1000t20t2t??t1??0t100000t??(?1)1?st2??0t100020t20?t20t2s ?t1s?(?1)s?1t2
s可见当t1s?(?1)st2时，方程组只有零解，即
?1,?2,?,?s线性无关。
s而 t1s?(?1)st2???t1??t2,s?2n
?t1??t2,s?2n?1综上：当s是偶数，t1??t2时；当s是奇数，t1??t2时，?1,?2,?,?s也为AX?0的一个基础解系。 十、（本题满分8分）
已知三阶矩阵A和三维向量x，使得x,Ax,A2x线性无关，且满足 Ax?3Ax?2Ax Ⅰ）记P?(x,Ax,A2x)，求B使A?PBPⅡ）计算行列式A?E 【分析】Ⅰ）由A?PBP?1?132；
，可得AP?PB，从而只要把AP的列向量组用P的列向
?1量组线性表出，即可得到矩阵B；Ⅱ）由Ⅰ），将A用PBP替换可求得A?E。
?000???23222【详解】Ⅰ）AP?(Ax,Ax,Ax)?(Ax,Ax,3Ax?2Ax)?(x,Ax,Ax)103
????01?2???000??000????1??所以A?P103P，因此B?103 ???????01?2???01?2??10Ⅱ）A?E?PBP?10?E?B?E?113??4。
01?1十一、（本题满分7分）
设某班车起点站上客人数X服从参数为?(??0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的
10