复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
习题一
1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
e?iπ/4
?18?8?0i??1
??1?i3?Im??0． ???2??;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i.
∴Re????1?i3??1, ??2?? ①解e?π4i④解：
2?2?π??π??cos????isin????????22?4??4???22i???i?22?∵
3
②解：
3?5i7i?1??3?5i??1?7i??1+7i??1?7i???1625?1325i
??1?i3??????2????1?3?3???1???3??22??3???1????3??3?3?i??8
?18?8?0i??1
3??1, ???③解： ?2?i??4?3i??8?3?4i?6i?5?10i ④解：
1i?31?i=?i?3?1?i?2?32?52i
?1?i∴Re????2??1?i3?Im??0???2??．
2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
????(a?); z;??1?i3?;??1?i3?;in. z?a?2??2?3z?a33???1?k,?⑤解： ∵i??k?1?i,????nn?2kn?2k?1kk??．
∴当n?2k时，Re?i????1?，Im?i??0；
nn①
则
z?az?a?：∵设z=x+iy
当
nn?2k?1k时，
R?e??in，0?x?iy??a?x?iy??a??x?a??iy?x?a??iy????x?a??iy?????x?a??iy??Im?i????1?．
?x?a?2222?y23.求下列复数的模和共轭复数 ,
?2?i;?3;(2?i)(3?2i);1?i2.
∴
x?a?y?z?a?Re???22?z?a??x?a??y?z?a????z?a?2xy①解：?2?i?4?1?5．
Im??x?a??y22．
?2?i??2?i
?3??3②解： 设z=x+iy ∵
z??x?iy???x?iy?332②解：?3?3
5?13?65?x?iy???x2?y?2xyi??x?iy?2③解：?2?i??3?2i?
?2?i3?2i?．
?x?x?y232222yx?y??2xy?i??2xy2?????23?2?i??3?2i???2?i???3?2i???2?i???3?2i??4?7i
?x?3xy??3xy?y2?i3④解：
1?i2?1?i2?22
∴
Im?z3Re?z??x3?3xy2,
?1?i??1?i?1?i????222????3x?32y?y．
3
③解： ∵
?1?i3??1?i3??????28??3??1??1?3???1???8???3?22???3???1??????3??3?3????
4、证明：当且仅当z?z时，z才是实数．
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证明：若z?z，设z?x?iy，
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则有 x?iy?x?iy，从而有?2y?i?0，即y=0
∴z=x为实数．
若z=x，x∈?，则z?x?x． ∴z?z． 命题成立．
≤①解：
3?5i7i?1??3?5i??1?7i?
1?7i1?7i?????175?ei???38?16i50?19?8i25其中??π?arctan819．
②解：i?ei??其中??
iπ2π2．
5、设z,w∈?，证明： z?w
2z?w
i?e
23③解：?1?eiπ?eπi
④解：?8π?1?3i??16π???π.
∴?8π?1?3i??16π?e3证明∵z?w??z?w???z?w???z?w??z?w?
?z?z?z?w?w?z?w?w?23πi
?z?z≤2?zw?z?w?w?w22??2Re?z?w??2z?w?2z?w
?2
2π2π???isin⑤解：?cos? 99??2π2π??cos?isin??99??3z2?w?w?w2
?z?22解：∵?1．
?z?2i?π.32π2π??9?isin?1?e?e∴?cos?99??322π3i ∴z?w≤z?w．
6、设z,w∈?，证明下列不等式．
z?w2?z2?2Rez?w?w??28.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3?3i的平方根.
⑴i的三次根． 解：
13z?w2?z2?2Rez?w?w2??2z?w2?z?w?2z?2?w2?
2并给出最后一个等式的几何解释．
证明：z?w?z?2Re?z?w??w在上面第五题
22ππ??i??cos?isin??cos22??32kπ?3π2?isin2kπ?3π2?k?0,1,2?
∴
z1?cosz2?cosπ656?isinπ6?5632?12i12的证明已经证明了．
下面证z?w?z?2Re?z?w??w．
222．
?i
∵z?w??z?w???z?w???z?w??z?w?
2π?isin96π??3296
32?12i?z2?z?w?w?z?w2
．从而得证．
z3?cosπ?isinπ??
2?z2?2Rez?w?w2??2⑵-1的三次根
解：
3∴z?w?z?w?2z?w?22??1??cosπ?isinπ?3?cos12kπ+π3?isin2kπ?π3?k?0,1,2?
几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3?5i7i?1;i;?1;?8π(1?3i);2π2π? ??isin?cos?.99??3
∴z1
?cosπ3?isinπ3?12?32i
z2?cosπ?isinπ??1
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z3?cos53π?isin53π??12?32i
是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
(1)argz?π;⑶3?3i的平方根． 解：3?
3??223i=6????22??i????π6?e4i
(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;∴
3i?
?π6?e41i?12ππ??2kπ?2kπ???44?64??cos?isin??22?1(4)Rez?Imz;?k?0,1?
(5)Imz?1且z?2.
∴
iππ??z1?6??cos?isin??64?e888??4111π
9解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
πi99??z2?64??cosπ?isinπ??64?e8．
88??9.设z?ei2πnn?1?0 ,n?2. 证明：1?z???z2πn证明：∵z?e
i? ∴zn?1，即zn?1?0．
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=
12 ∴?z?1??1?z???zn?1??0
又∵n≥2． ∴z≠1
从而1?z?z+??z2n?1?0
．
11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?rei?.令
???z?a?L???z:Im??0?, ??b???其中b?ei?.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件. 解：如图所示．
(3)、1<|z+i|<2
解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
因为L?={z: Im??z?a???b?=0}表示通过点a且方
（4）、Re(z)>Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面
向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90°
故α-β=90°
所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件
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所以
u?x?y,v?2xy.22
π4(1) 记w??e，则
轴上从O到4i的一段，即
0???4,??π2.i?0?r?,2??映射成w平面内虚
5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
(2) 记
习题二
1. 求映射
w?z?1zw??ei?，则
0???π4,0?r?2π2.映成了w平面
上扇形域，即
0???4,0???
下圆周|z|?2的像.
w?u?iv解：设z?x?iy,
u?iv?x?iy?1x?iy则
?x?iy?x?iyx?y22?x?xx?y2?i(y?2yx?y2)
2 因为所以
x?y?45422u?iv?54x?34yi
(3) 记w?u?iv，则将直线x=a映成了
u?a?y,v?2ay.22,所以
34y
即
v?4a(a?u).222是以原点为焦
u?u54xv??,
v34
点，张口向左的抛物线将y=b映成了
u?x?b,v?2xb.
22x?,y?
u
?2u5222所以??542?v??342即???v3222???1 即
，表示椭圆.
v?4b(b?u)222是以原点为焦点，张口向右抛物
线如图所示.
22. 在映射w?z下，下列z平面上的图形映射为w
平面上的什么图形，设
0?r?2,??w??eπ4i?或w?u?iv.
（1）
0?r?2,0???π4； （2）
2;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设
w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi22
3. 求下列极限.
lim11?z2 (1)
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z??;