复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
所以在z?1kπ?z?0的任意去心邻域，总包括奇点
k??sinzz3z??z?013!z?z3315!z?...?51z2?13!?15!z?...2
π，当2时，z=0。
所以
是奇点,是二级极点.
从而
z?01不是cos(1)的孤立奇点.
z336解: (2)
z?0z?2kπi(k?0,?1,...)2kπi是奇点,是一级极点,0是二级极点.
23. 用级数展开法指出函数6sinz?z(z?6)在
z?0处零点的级.
解: (3)
z?0解：
f(z)?6sinz?z(z?6)?6sinz?z?6z?6(z?3336393
z?02sinz2?0,z?0(sinz)??cosz?2z?0.??4z?sinz?2cosz?2?022222
13!z?915!z15?...)?z?6z93
(sinz)??z?02z?0故z=0为f(z)的15级零点
24. 判断z?0是否为下列函数的孤立奇点，并确定奇点的类型： ⑴ e1/z； ⑵
1是sinz的二级零点 是sinz2而
z??kπi2的一级零点,
z??kπ是
1?coszz2 sinz的一级零点
解: 因为
1z?0是
ez所以
的孤立奇点
z?01是sinz2的二级极点,
?kπi,?kπ是
ez?1?1z?12!z2?...?1n!zn?...
12sinz的一级极点.
1是所以
(2)因为 1?coszz2z?0ez26. 判定z??下列各函数的什么奇点？
的本性奇点.
⑴ e1/z2 ⑵ cosz?sinz ⑶
12z3?z2
1?1??12!z?z2214!z?...?4解: (1)当
12!?14!z?...2z??时,
12ez?12
所以
z?01?cosz所以,
z??是
ez的可去奇点.
是
z2的可去奇点.
(2)因为
cosz?sinz?1??1?z?12!z?212!3z?1214!4z?...?z?15!z?...5413!z?315!z?...525. 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出其点：
⑴ 解(1)
sinzz313!
z?4!z? ⑵
1z(e?1)2z ⑶
1sinz2 :
所以,
z??是
cosz?sinz的本性奇点.
(3) 当
z??2z时, 3?z2?0
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复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社）
所以, z??是3?z2的可去奇点. 27. 函数f(z)?1z(z?1)22z而z=3在2?z???内，C?1?1,故
??在z?1处有一个二级极
Cf(z)dz?2πi?C?1?2πi
习题五
1. 求下列函数的留数． (1)f?z??e?1z5z点，但根据下面罗朗展开式：
???2z(z?1)11z(?5在z=0处．
?1)1z?(4?,3 z 1)z?(1)1?1. ?1解：
e?1zz5z在0<|z|<+∞的罗朗展开式为
z3我们得到“z?1又是f(z)的本性奇点”，这两个结果哪一个是正确的？为什么?
解: 不对, z=1是f(z)的二级极点,不是本性奇点.所给罗朗展开式不是在0?z?1?1内得到的 在
0?z?1?11z(z?1)221?z?2!?3!5z?z44!???1?1z4?12!z?13?13!z?12?14!z?1???ez?1?11∴Res?5,0???1??z?4!241
(2)f?z??ez?1在z=1处．
1内的罗朗展开式为
1(z?1)2解：e12z?1在0 1?12!?z?1??12?1z?1z?1??1(z?1)2?1z?1?1?(z?1)?(z?1)?... ez?1?1?z?1?13!?z?1??13???1n!?z?1??1n?? 28.如果C为正向圆周值 z?3?C，求积分?f(z)dz的 ?1?∴Res?ez?1,1??1． z1f(z)?f(z)?(1)(z?1)(z?2) z(z?2) (2) 2. 利用各种方法计算f(z)在有限孤立奇点处的留 数． (1)f?z??3z?22z?z?2?解：（1）先将展开为罗朗级数，得 11?[?z(z?2)2z122 的有限孤立奇点处有z=0， 11z(1??...),2z)]解：f?z??3z?22z?z?2?z=-2．其中z=0为二级极点z=-2为一级极点． 2?z????2z(?4z3?8z4∴ 3?z?2??3z?24?3z?2?Res?f?z?,0???lim???1??lim2z?0?z?2?1!z?0?z?2?411 C?0而z =3在2?z???内，?1,故 3z?2 Res?f?z?,?2??lim??1 2z??2z??Cf(z)dz?2πi?C?1?0z 3. 利用罗朗展开式求函数?z?1??sin数． 21z在∞处的留 (2)(z?1)(z?2)在展开式为 2?z???内处处解析，罗朗 112解：?z?1??sin??z2?2z?1??sinzz1111?1?2??z?2z?1?????3??5???5!z?z3!z? z(z?1)(z?2)1z3z2?z[1z?1?1z?2]?11?1z?11?2z 1 ∴Res?f?z?,0??1? 3!1从而Res?f?z?,????1? 3!???7z3?...,2?z???5. 计算下列积分． 22 / 34 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社） (1)??tanπzdz，n为正整数，c为|z|=n取正向． c1??但Res?f?z?,??lim1?2?z?zm解：??tanπzdz?c??sinπzcosπz2cdz． 所以I?iI1?2πi?又因为I1?∴?π0?5z?2?1?1m?2z???13?2m 1为在c内tanπz有 zk?k?122i3?2sinm???π3?2m (k=0,±1,±2?±(n-1))一级极点 sinπz1π12?π?π5?4cos?π3?22md??0 cosm?5?4cos?2π0由于Res??f?z?,zk???∴ ?cosπz????z?2k d?? ，|a|>1． (2) ? cos3?1?2acos??ad??1???tanπzdz?2πi?Res?fz,z??2πi?????2n??4ni?k????c?π?k解：令 I1?(2) ??dzc?z?i??z?1??z?3?11010 c:|z|=2取正向． 在c内有z=1，z=-i ?2π0cos3?1?2acos??a2d? I2?3?i?2π0sin3?1?2acos??a2d? I1?iI2?iθ 解：因为 ?2π0e31?2acos??az2zz322d? ?z?i??z?1??z?3?两个奇点． 所以 令z=e．cos??I1?iI2?d??1izdz，则 1iz???z?i?cdz10??1iz?1?z?1??z?3??2πi??Res?f?z?,?i??Res?f?z?,1????2πi??Res?f?z?,3??Res?f?z?,?????πi ??1?2a?z?12zz3??a2dz ??z?122?az??a?1?z?adz?3?i?10?11?2π??2πi?Res?f?z?,??32ia?a?a?1??6. 计算下列积分． (1)?π0cosm?5?4cos?得I1?(3)?????2π32a?a?1? ，a>0，b>0． ，被积函数R(z)在 d? θ 的偶函数，所以 dx因被积函数为 I?12?x2?a2??x2?b2?1?π?πcmo?s5?d? 4?cosd?解：令R?z??则有 ?z2?a2??z2?b2?令I1?12?1π?πsinm?5?4cos?π?π上半平面有一级极点z=ia和ib．故 I?2πi?Res?R?z?,ai??Res?R?z?,bi??I?iI1?i??2eim?5?4cos?1izd? 11???2πi?lim?z?ai?2?lim?z?bi?2222222?z?a??z?b?z?bi?z?a??z?b???z?ai?设z?e d??I?iI1?1212idz cos??z?12z2则 11???2πi??2222??2ia?b?a?2ib?a?b???πab?a?b???zz?1mdz?1?z2?iz5?4???2z?zm25?2?1?z? ???z?1dz（4）. ?在|z|=1内只有一个 ??02x222?x?a?x22dx，a>0． 被积函数f?z??简单极点z?12zm25z?2?1?z?解：???0?x2?a2?z2dx?12?????x22?x2?a2?dx 令R?z???z2?a2?2，则z=±ai分别为R(z)的二级 23 / 34 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社） 极点 故 0??2?x222?x?a?dx?12??2πi??Res?R?z?,ai??Res?R?z?,?ai??22iz?π??1??e?2?e?2I?Im?2πi?lim?πi??Im?2πi?????πi???1?e?． z?iz?z?i?2??2??2?2?1?2?z??πilim?2?z?ai??z?ai???π2a??0??????z??zlim?2????ai???z?ai???(2) 12πi?aTz2z其中T为直线Rez=c, c>0, 0 解：在直线z=c+iy (-∞< y <+∞)上，令 f?z??azz2?ezlna(5) ?解： x?sin?xz2， ????f?c?iy??c?lna2e2c?lna2c?y， ?x?b?222dx，β>0，b>0． ??????????f?c?iy?dy??e2c?ydy收敛，所以积分 ?????x?x2?b2?2?ei?xdx?x?cos?x?x2?b2?22dx?i?????x?sin?x?x2?b2?2dx ??c?i?c?i?c?i?c?i?是存在的，并且 f?z?dzf?z?dz?lim而考知R?z??z?z2?b2?，则R(z)在上半平面有z=bi R????c?iRc?iRf?z?dz?limR????ABf?z?dz 一个二级极点． 其中AB为复平面从c-iR到c+iR的线段． i?zdx?2πi?Res?R?z??e,bi??????x?x2?b2?2?ei?x考虑函数f(z)沿长方形-R≤x≤c，-R≤y≤R周界的积分．＜如下图＞ ?ze?π???b?2πi?lim???e?i?z?bi?z?bi?2b??i?z??????x?sin?x?x2?b2???022dx?π?2b?e??b ?e??b从而?(6) ?x?sin?x?x?b?22dx?π?4b?π?4be?b 因为f(z)在其内仅有一个二级极点z=0，而且 Res?f?z?,?0?z?0????2eix2x?adx，a>0 1解：令R?z??极点 z?a22，在上半平面有z=ai一个一级 ?2li?mz?f??z?? lna所以由留数定理． 2?????2eixx?adx?2πi?Res?R?z??e,ai??2πi?limizeizz?aiz?ai?2πi?e?a2ai?πaea?ABf?z?dz??BEf?z?dz??EFf?z?dz??FAf?z?dz?2πi?lna 7. 计算下列积分 (1)???0而 sin2xx?1?x?2dx 1?，则R(z)在实轴上有孤立奇 BEf?z?dz???RCe?x?Ri?lna2?x?Ri?dx≤?Cex?lna2?R2x?Rdx≤?C?RelnaCR2dx?eC?lnaR2??C?R?????0． R???解：令R?z??2z?1?z?点z=0，作以原点为圆心、r为半径的上半圆周cr，使CR,[-R, -r], Cr,[r, R]构成封闭曲线，此时闭曲线内只有一个奇点i, 于是 ?1I?Im??2习题 七 1.证明：如果f(t)满足傅里叶变换的条件，当f(t)为奇函数时，则有 f(t)???： ?ecr2iz2z?1?z??0b(?)?sin?td? 2π??????1dx??Im?2πi?Res?R?z?,i???lim2r?0x?1?x??2e2ixdz其中b(?)?当f(t)????0f?t??sin?tdt 而lim?cr?0er2iz?1?z2??dzz??πi． f(t)为偶函数时，则有 故： ???0a(w)?cos?td? 2其中a(?)? 24 / 34 ????0f(t)?cos?tdt 复变函数与积分变换（修订版）课后答案（复旦大学出版社） 证明： 因为f(t)?2π?1????G(?)ei?td?其中G(?)为f(t) ?sint,t?6π3.计算函数f(t)??的傅里叶变换. ???0,t?6π的傅里叶变换 G(?)??解: ?i?t?????????f(t)edt??????f(t)?(cos?t?isin?t)dt ????F??f?(?)?6π?6π?????f(t)?e?i?tdt??6π?6πsint?e?i?tdt?f(t)?cos?tdt?i?f(t)?sin?tdt ?sint?(cos?t?isin?t)dt6π0 sint?sin?tdt当f(t)为奇函数时，f(t)?cos?t为奇函数，从而 ??2i??isin6π?π(1??)2?????f(t)?cos?tdt?0 4.求下列函数的傅里叶变换 (1)f(t)?e解： F?f?(?)??tf(t)?sin?t为偶函数，从而 ?????f(t)?sin?tdt?2???0??0f(t)?sin?tdt. 故G(?)??2i?f(t)?sin?tdt. 有 ??????f(t)e?i?tdt??????e?|t|?e?i?tdt??????e?(|t|?i?t)dt ?0??et(1?i?)dt????0e?t(1?i?)dt?21??2G(??)??G(?)为奇数。 f(t)?12??????G(?)?ei?td??12??????G(?)?(cos?t?isin?t)d? (2)f(t)?t?e解：因为 F[e?t2?t2 = ?2π???01????G(?)?isin?td???πi??0G(?)?sin?td? ]?π?e??24.而(e?t2)?e/?t2?(?2t)??2t?e?t2. 所以，当f(t)为奇函数时，有 f(t)?b(?)?sin?td?.其中b(?)=所以根据傅里叶变换的微分性质可得 ?π2??0f(t)?sin?tdt.G(?)?Ft(?esinπt1?t2?t2?)π?2i??2?4e 同理，当f(t)为偶函数时，有 f(t)?a(?)????0a(?)?cos?td?.其中 ??0(3)f(t)?解： 2π?f(t)?cos?tdt 2G(?)?F(f)(?)???t,2.在上一题中，设f(t)????0,t?1t?1?????sinπt1?t2?e?i?tdt.计算a(?)的 ??????sinπt1?t????2?(cos?t?isin?t)dt?12[cos(π??)t?cos(π??)t]1?t22 dt值. 解: a(?)?21??i?2π2??0sinπt?sin?t1?t1?t22dt??2i???0??0?f(t)?cos?tdt?2π?10t?cos?tdt?22π???10?cos?tdt?i???0cos(π+?)tdt?i?cos(π-?)t1?tdt(利用留数定理)21??t?cos?tdt??π0π??2π??t?sin?t2?1010td(sin?t)210?2π? ?i??sin?,当|?|?π??2?0,当|?|?π.??sin?t?2tdt2sin?4???2π?????2sin?π?2sin???42(4)f(t)?解: 101011?t11?t44?104 t?d(cos?t)??t?cos?t????4cos??cos?tdt???????2?4sin?G(?)??2???0?????e?i?tdt??????cos?t1?t4dt?i?????sin?t1?t4dt??3cos?t1?tdt??????cos?t1?t4dt 25 / 34