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所以加速度的最大值为：amax?F1??2M??g?6.8m/s2
此时木块离定滑轮的水平距离为：S?hcot??25cm
说明：此题并非在任何条件下都能达到上述最大加速度，当木块达到一定值时，有可能使物体脱离地面，此后物体将不在沿着水平面运动。因此，F、M、μ必须满足Fsin?≤Mg。此题所给数据满足上述条件，能够达到最大加速度。
例题4-5．如图3所示，质量为m=1kg的物块放在倾角为
的斜面体上，斜面质量为
，斜面与物块间的动摩擦因数为，地面光滑，现对斜面体施一水平推力F，要
使物体m相对斜面静止，试确定推力F的取值范围。 （
）
图3
解析：此题有两个临界条件，当推力F较小时，物块有相对斜面向下运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向上；当推力F较大时，物块有相对斜面向上运动的可能性，此时物体受到的摩擦力沿斜面向下。找准临界状态，是求解此题的关键。
（1）设物块处于相对斜面向下滑动的临界状态时的推力为F1，此时物块受力如图4所示，取加速度的方向为x轴正方向。
图4
对物块分析，在水平方向有竖直方向有
对整体有代入数值得
（2）设物块处于相对斜面向上滑动的临界状态时的推力为F2 对物块分析，在水平方向有竖直方向有对整体有代入数值得
。 ，
综上所述可知推力F的取值范围为：
例题4-6.如图4-6所示，跨过定滑轮的轻绳两端，分别系着物体A和B，物体A放在倾角为α的斜面上，已知物体A的质量为m，物体B和斜面间动摩擦因数为μ（μ T?mBg 图4-6 再以A为研究对象，它受重力、斜面对A的支持力、绳的拉力和斜面对A的摩擦作用．假设A处于临界状态，即A受最大静摩擦作用，方向如图所示，根据平衡条件有：N?mgcos? T?fm?mg?0,fm??N或： T?fm?mg?0,fm??N 综上所得，B的质量取值范围是： m(sin???cos?)?mB?m(sin???cos?)例题5-1．甲物体以v甲=4m做匀速直线运动，乙物体在其后面5m处沿同一直线同一方向做 s初速为零加速度a?2m离的最大值。 s2的匀加速直线运动，问乙物体是否可以追上甲物体？并求出其间距 解法一：（1）乙物体一定可以追上甲物体。（2）用临界法分析求极值：乙物体加速至v甲=4m前，速度小于其前方的甲物体运动速度，此阶段其间距离不断增大，当乙物体加速至v甲=4mss后，速度大于其前方的甲物体运动速度，所以在尚未追上甲物体前，其间距离不断减小，故 等速时其间距离最大。令a?t?v甲 解得t?v甲4==2s 此时相距最远 a211smax?s0?v甲?t?at2?5?4?2??2?22?9m 22解法二：（2）用抛物线顶点坐标法求极值：依据甲乙两物体各自运动规律可得出其间的距离函数S?S0+v甲?t?4121?2s 时 at?5?4t??2t2??t2?4t?5 显然当t??2(?1)22Smax4?(?1)?5-42?=9m 4?(?1)例题5-2．（宝鸡2012年二模）如图所示，质量为6kg的小球A与质量为3kg的小球B，用轻弹簧相连后在光滑水平面上共同以速度v0向左匀速运动，在A球与左侧竖直墙壁碰后两球继续运动的过程中，弹簧的最大弹性势能为4J， 若A球与左侧墙壁碰撞前后无机械能损失，试求v0的大小。 解析：这里弹性势能最大时即簧压缩量最大，亦即A与左侧墙壁碰后以v0为初速（碰墙壁无机械能损失）向右减速运动，B仍以v0为初速向左减速，但B球质量小先减至零又反向向右加速运动，二者均向右运动等速时其间距离最小，此时簧的弹性势能最大。因为碰墙壁后向右运动过程A+B系统总动量守恒，如果选向右为正方向则 mAv0?mB(?v0)?(mA?mB)vAB 又因为碰墙壁后向右运动过程A+B（含簧）系统总机械能守恒则 111mAv02?mB(?v0)2?(mA?mB)vAB2?4 222 联立求解并代入数值得v0?1m （vAB?s例题5-3．（90年全国卷）在光滑的水平轨道上有两个半径都是r的小球A和B，质量分别为m和2m，当两球心间距离大于L（L比2r大得多）时，两球之间无相互作用力；当两球心间距离等于或小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。设A球从远离B球处以速度两球连心线向原来静止的B球运动，如图12-2所示，欲使两球不发生接触， 1m） s3v0沿 v0必须满足什么 条件 解析 ： 据题意，当A、B两球球心间距离小于L时，两球间存在相互作用的恒定斥力F。故A减速而B加速。当vA?vB时，A、B间距离减小；当vA?vB时，A、B间距离增大。可见， 当vA?vB时，A、B相距最近。若此时A、B间距离x?2r，则A、B不发生接触（图12-3）。上述状态即为所寻找的临界状态，vA?vB时x?2r则为临界条件。 两球不接触的条件是：vA?vB （1） L?SB?SA2r （2） 其中vA、vB为两球间距离最小时，A、B球的速度；SA、SB 为两球间距离从L变至最小的过程中，A、B球通过的路程。 设 v0为A球的初速度， 对于A+B系统由动量守恒定律得 mv0?mvA?2mvB0 （3） 1212mvA?mv0 （4） 22102对于B球由动能定律得 F?SBcos0?(2m)vB （5） 2对于A球由动能定律得F?SAcos180?联立解得： v0?3F(L?2r)m 评析 本题的关键是正确找出两球“不接触”的临界状态，为vA?vB且此时x?2r 例题6．（09年江苏卷）如图所示，两质量相等的物块A、B通过一轻质弹簧连接，B足够长、 放置在水平面上，所有接触面均光滑。弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内。在物块A上施加一个水平恒力，A、B从静止开始运动到第一次速度相等的过程中，下列说法中正确的有 （ ） A．当A、B加速度相等时，系统的机械能最大 B．当A、B加速度相等时，A、B的速度差最大 C．当A、B的速度相等时，A的速度达到最大 D．当A、B的速度相等时，弹簧的弹性势能最大 解析：分析本题的关键是对物体进行受力分析和运动过程分析，使用图象处理则可以使问题 更加简单。A、B物块在水平方向受力如右图上下， F1为弹簧的拉力。 A从静止开始向右做加速度减小的变加速直线运动，B从静止开始向右做加速度增大的变加速直线运动，当两物块加速度相等时它们的速度差最大（因为该阶段A速度的增加值总是大于B速度的增加值），————选B. 该过程可视为B板后沿(质点)追击A物块，因为前面A物体的速度总是大于后面B物体的速度，所以其间距离不断增大（同一时间内A物的位移总是大于B物的位移），当两物体等速时其间距离最大即弹簧伸长量最大，所以弹簧的弹性势能最大。————选D 据前分析该过程A物体始终做加速度减小的加速运动（B物也始终加速但加速度增大），这种运动一直持续到A物体加速度减为零（此时B物体加速度增至F/m），即A物体速度单调增加，故末时刻速度最大。————选C. 又因外力F不断做正功，所以系统机械能不断增大，末时刻机械能最大。————排除A. 两物体的速度时间图像如下： t1时刻aA?aB?F t2时刻vA?vB且A物加速度=0 2m 例题7-1．消防队员为了缩短下楼时间，往往抱着直立于地面的竖直滑杆直接滑下（设滑杆在水平方向不能移动），假设一名质量为60kg的消防队员从离地面18m的七楼抱着竖直的滑杆以最短的时间滑下。已知消防队员的手和脚对杆之间的压力最大为1800N，手和脚与滑杆之间动摩擦因数为0.5，消防队员着地的速度不能大于6m/s，当地的重力加速度g?10m（1）消防队员下滑的最短时间？ （2）消防队员下滑过程中最大速度？ 解法一（基本不等式极值法）：设消防队员先做自由落体运动1，其次匀速运动 s2求： tt2（计算知人 与滑杆之间最大静摩擦力为900N大于重力600N），最后匀减速运动3，到达地面时恰好减速至 tv3=6m/s，则下滑时间 T=t1?t2?t3……………………………………………① 12gt?6gt1+gt1?t2?1?t322且18=…………………………………..② 又依牛顿第二定律知消防队员减速下滑的加速度最大值为 a??Nm?mgm?0.5?1800?60?10mm22?5ss 60a?gt1?6gt?6gt?65?1t3?1t3所以t3即5…..③ 而依运动学公式知 108?75t1210t1?63546T=t1?t2?t3=t1???t1??50t15225t15 将②③式代入①式并整理有3t12显然因为 54025t1， 0354354t1?t1=225t1为定值，所以当225t1即t1?1.2s时 且