G的大小和方向都不变；斜面对球体的弹力N（解法一中的N1）方向不变，大小可变，暂称为“单变力”； 挡板对球体的弹力F（解法一中的N2）方向随挡板逆时针转动而转动暂称为“双变力”，画出其矢量三角形如图所示.在这变化过程中，由图直接可以看出，N一直减小，而F先减小后增大.当F与N垂直（解法一中?=90）时，F的值最小；当F转至竖直向上（挡板水平，即解法一中?=180-?）时，N减小到零，F大小等于G。
例题18-2. 如图17-2所示，将一物体用两根等长OA、OB悬挂在半圆形架子上，B点固定不动，在悬挂点A由位置C向位置D缓慢移动的过程中，物体对OA绳的拉力变化是（ ） A.由小变大 B.由大变小 C.先减小后增大 D.先增大后减小
解析：在进行动态分析时，首先找到不变的恒力和力发生变化的临界点
悬挂点A由位置C缓慢移动的过程中，每个位置都处在平衡状态，合力为零。
以结点O为研究对象，受三个力的作用而处于平衡状态，因此三个力必构成一个闭合矢量三角形。因重力的大小和方向始终不变，BO绳的拉力方向不变，在AO绳由位
TB 置C到D移动过程中可以做出一系列的闭合的三角形，如图4所示。由图可知
TA1 OB绳的拉力由小变大，OA绳的拉力由大变小，当OA垂直于OB时绳OA的
拉力达到最小值，此时，绳OA的接力由减小到增大的临界点。则C正确。 TA2 【思维总结】作矢量图时，每个三角形所表示重力边的长度、方向都不变，TB
TA3
的方向不变，然后比较做出的各个三角形表示有哪些不同。要特别注意是否存G TA4 在极值和临界点，这是判断力变化的关键。
图4
例题19． 一个质点在F1和F2两个力的作用下，沿与F1成30°角的直线运动，已知F1＝10N，要使F2为最小值，F2应该等于多少
解析 ：物体由静止开始做直线运动，合力方向一定是物体运动方向。所以将F1正交分解成一个沿运动方向与一个垂直运动方向的力。此时，垂直运动方向的分力必须得抵消掉，即F2大于等于F1的垂直运动方向分力，所以F2最小值为5N，方向是垂直运动方向。 例题20． 证明小船渡河速度垂直于水流速度时渡河时间最短。 证明 设河宽为d，船速为v，船速与水速夹角为? 则渡河时间
00t?
dd0 显然当 ?=90时tmin? （如下图所示）
vsin?v
例题21． 证明 如果小船速度大于水流速度时，小船渡河的最短航程即为河流宽度。
解析；小船“斜逆航行”渡河，且船速逆向上行的分位移与水流引起小船漂流的分位移抵消， 即船逆向上行的分速度与水的漂流速度抵消，所以小船的合速度与河岸垂直，到达对岸时的位移即是河宽。（如下图所示）
例题22． 证明如果小船速度小于水流速度时，船速垂直于合速度时小船渡河的航程最短。
解法一（正弦函数法）；
如图所示，取水流方向为X轴正向，小船初始位置为坐标原点，设水速、船速分别为vs、vc船速与X轴负方向所夹锐角为?
河流宽度为d，渡河后到达彼岸P点，则航程s?d2?x2 而x?vs?t?vccos??t?(vs?vccos?)?d
vcsin?变形为 xvcsin??vcdcos??vsd 再变形为
x2?d2(xx2?d2sin??ddx2?d2cos?)?vsd vc令xx?d22=cos?
x?d22=sin?
（?+?）?则上式变为x?dsin22vsv1d 所以S?sd? vcvcsin(???)vsd（如下图所示） vc0显然当?+?=90（即船速垂直于合速度）时 Smin?解法二（矢量图解法）：
如图所示，船速（图中矢量圆半径）大小一定，方向可以调整变化，而水速（大小方向均一定）与船速的合速度与AB夹角越大，则渡河航程越大（即到达彼岸的位置举B点越远），只有当合速度与该矢量圆相切时航程最短。
小船渡河两类问题的三种矢量图比较
例题23． 如图所示，工人师傅想把一个重800N的油桶滚上一个台阶，他沿最省力的方向推动油桶，在图中画出这个力和它的力臂。
解析： 上滚过程必以台阶边缘O为转轴，故过O点做直径OP，过P点做OP的垂线PA。则OP为力臂，沿PA即为所加拉力方向。 例题24．甲车在平直公路上以v1匀速行驶，乙车在甲车后面距离甲车ｓ处以更大的速度v2同向匀速行驶，为确保甲乙两车不相撞，在甲车仍以v1匀速行驶的情况下，乙车做匀减速直线运动的加速度大小至少为多少。
解析：以甲车为参照物，乙车初速为v2?v1，临界状态时末速为０，匀减速运动的加速度大
(v2?v1)2小为a，位移为ｓ，则有0?(v2?v1)?2(?a)s 解得a?
2s225例题24．一列火车总质量m=500t，机车发动机的额定功率pe?6?10w，行驶时轨道对列车
的阻力f是车重的0.01倍，求（1）列车行驶的最大速度.（2）若从静止开始保持a?0.5m的加速度匀加速运动的最长时间。
解析：（1）列车加速的加速度减小至a=0时速度最大，设为vmax则pe?f?vmax
s2pe6?105??12m 所以vmax=3sf0.01?500?10?10（2）机车瞬时功率pt?F?vt?(ma?f)?at?pe
pe6?105??4s 所以t?(ma?f)?a(500?103?0.5?0.01?500?103?10)例题25． 试证明完全非弹性碰撞中的机械能损失最大。
证明：设质量为m2的小球2静止于水平面上，质量为m1的小球1以速度v1与其对心碰撞，并设碰后小球1、2的速度分别为v3、v4，依据动量守恒定律有m1v1?m2?0?m1v3?m2v4 所以v4?m1(v1?v3) ……① m2该碰撞过程系统机械能损失
m111E?m1v12?m1v32?m2v42 将v4?1(v1?v3)代入并整理得
m2222m1m12v1m2E?-(m1?m2)?v3??v3?1(m2?m1)v12 显然机械能损失量E是关于v32m2m22m2的二次函数，其二次项系数小于零。所以当v3?m1v1 时E最大，代入①式知
m1?m2此时v4?m1m1(v1?v3)=v1?v3 故碰后两球等速，即合为一体。 m2m1?m2例题26． 以弹簧振子为例，分析简谐运动过程的位移、恢复力、加速度、速度、动量、动能、
势能、机械能的变化情况。
解析：简谐运动过程八个物理量变化可用如下的菱形图所示。其中A、O、C分别表示弹簧振子（泛指简谐运动）的最大位移处和平衡位置，如果振子从A向O运动，则
122kx12AB的降势反映了振子x、kx、、kx的变化趋势，
m21212AO的水平态势反映了振子机械能mv?kx守恒，
22AD的升势反映了振子v、mv、mv的变化趋势，
同理从O向C的运动过程分别用DC、BC、OC表示其变化趋势。
显然振子在平衡位置O处时速度、动量、动能最大；在A(C)处时位移、回复力、加速度、振动势能最大，振动过程机械能保持不变。
例题27．铁道上每根钢轨长12.5 m，若支持车厢的弹簧和车厢组成的系统固有周期为0. 5s，那么当列车以_________速度行驶时，车厢振动最厉害。
解析：列车行驶过程每当车轮滚动至两节钢轨缝隙处就会受到向列车后上方的冲击力，这种
T驱?冲击力的驱动作用周期
12.5v车，列车在该力作用下做受迫振动，当驱动力的周期与振动系
统的固有周期相等时就发生了共振，车厢振动得最厉害。
令
T驱=T固=0.5 所以
v车=S212.5=25（ms）0.5
例题28．在同一均匀介质中有
S1、两个波源，这两个波源的频率、振动方向均相同，且振