北京市西城区2013年高三一模试卷
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2013.4
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1． B； 2．A； 3．D； 4．B； 5．C； 6．C； 7．A； 8．B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．0； 10．?74； 11．x??12，2；
12．80%； 13．24； 14．5，7n?22． 注：11、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分） （Ⅰ）解：依题意，得f(1分 即
sin3π4?acos3π4?22?2a2?0，
3π4)?0， ??????
??????3
分 解
得
a?1． ??????5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得 f(x)?sinx?cosx． ??????6分
g(x)?[f(x)]?2sinx
?(sinx?cosx)?2sinx
2222- 6 -
?sinx2?coxs 2 ??????8分 ?2sin(2x?π4 )． ??????
10分
由 2kπ?得 kπ?12分
所以 g(x)的单调递增区间为[kπ?13分
16．（本小题满分14分） （Ⅰ）证明：在△ABC中，
因为 AC?3，AB?2，BC?1，
3π8,kπ?π8]，k?Z． ??????
π28?2x?π4?2kπ?π8π2，
3π?x?kπ?，k?Z． ??????
所以 AC?BC． ??????2分 又因为 AC?FB，
所以 AC?平面FBC． ??????4分
（Ⅱ）解：因为AC?平面FBC，所以AC?FC．
因为CD?FC，所以FC?平面ABCD． ??????
6分
在等腰梯形ABCD中可得 CB?DC?1，所以FC?1． 所
S?34以△BCD的面积为
． ??????7分
VF?BCD?所以四面体FBCD的体积为：
13S?FC?312． ??????
9分
（Ⅲ）解：线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA// 平面FDM，证明如下：
?????
?10分
- 7 -
连结CE，与DF交于点N，连接MN．
因为 CDEF为正方形，所以N为CE中点． ??????
11分
所以 EA//MN． ??????
12分
因为 MN?平面FDM，EA?平面FDM， ??????
13分
所以 EA//平面FDM．
所以线段AC上存在点M，使得EA//平面FDM成立． ??????
14分
17．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：设“甲临时停车付费恰为6元”为事件A， ??????1分
则 P(A)?1?(?31512)?14．
所以甲临时停车付费恰为6元的概率是
14． ??????4分
（Ⅱ）解：设甲停车付费a元，乙停车付费b元，其中a,b?6,14,22,30． ??????6分
则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为：
(6,6),(6,14),(6,22),(6,30),(14,6),(14,14),(14,22),(14,30),(22,6),(22,14),(22,22),
(22,30),(30,6),(30,14),(30,22),(30,30)，共16种情形． ??????
10分
其中，(6,30),(14,22),(22,14),(30,6)这4种情形符合题意． ??????
12分
故“甲、乙二人停车付费之和为36元”的概率为P?13分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：f(x)的定义域为R， 且 f?(x)?e?a． ??????
x416?14． ??????
- 8 -
2分
① 当a?0时，f(x)?ex，故f(x)在R上单调递增．
从
而
f(x)没有极大值，也没有极小
值． ??????4分
② 当a?0时，令f?(x)?0，得x?ln(?a)．
f(x)和f?(x)的情况如下：
x (??,ln(?a)) ln(?a) ?(ln(?a),??) f?(x) f(x) 0 ? ↘ ↗ 故f(x)的单调减区间为(??,ln(?a))；单调增区间为(ln(?a),??)． 从而
f(x)的极小值为f(ln(?a))??a?aln(?a)；没有极大
值． ??????6分
（Ⅱ）解：g(x)的定义域为(0,??)，且 g?(x)?a?8分
③ 当a?0时，f(x)在R上单调递增，g(x)在(0,??)上单调递减，不合题意．
?????
?9分
④ 当a?0时，g?(x)?0，g(x)在(0,??)上单调递减．
当?1?a?0时，ln(?a)?0，此时f(x)在(ln(?a),??)上单调递增，由于g(x)在
(0,??)1x?ax?1x． ??????
上单调递减，不合题
意． ??????11分
当a??1时，ln(，此时f(x)在(??,ln(?a))上单调递减，由于f(x)在?a)?0(0,??)上单调递减，符合题意．
综上，a的取值范围是(??,?1)． ??????
13分
- 9 -
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：依题意，直线AB的斜率存在，设其方程为y?k(x?1)． ??????1分
将其代入
3分
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，所以 x1?x2?4分
故点G的横坐标为
x1?x2214??4k22x24?y23整理得 (4k?3)x?8kx?4k?12?0． ???????1，
2222?8k224k?3． ??????
4k?3．
依题意，得
6分
解
k??12?4k224k?3??， ??????
得
． ??????7分
（Ⅱ）解：假设存在直线AB，使得 S1?S2，显然直线AB不能与x,y轴垂直．
?4k22由（Ⅰ）可得 G(8分
4k?34k?3,3k2 ??????)．
因为 DG?AB，
3k4k?3?k??1， 所以 2?4k?xD24k?32解得 xD?10分
?k224k?3， 即 D(?k224k?3,0)． ??????
因为 △GFD∽△OED，
所以 S1?S2?|GD|?|OD|． ??????
- 10 -