11分
所以
12分
整理得 8k2?9?0． ??????
13分
因为此方程无解，
所以不存在直线AB，使得 S1?S2． ??????
14分
20．（本小题满分13分）
5(?k224k?3??4k224k?3)?(23k4k?32)?2?k224k?3， ??????
（Ⅰ）解：当n?5时，由d(A,B)??|ai?1i?bi|，
得 d(A,B)?|1?2|?|2?4|?|1?2|?|2?1|?|5?3|?7， 所
d(A,B)?7． ??????3分
以
（Ⅱ）证明：设A?(a1,a2,?,an)，B?(b1,b2,?,bn)，C?(c1,c2,?,cn)．
????????因为 ???0，使AB??BC，
所以 ???0，使得 (b1?a1,b2?a2,?,bn?an)??((c1?b1,c2?b2,?,cn?bn)， 所以 ???0，使得 bi?ai??(ci?bi)，其中i?1,2,?,n． 所以
bi?ai与
ci?bi(i?1,2,?,n)同为非负数或同为负
数． ??????6分
nni所以 d(A,B)?d(B,C)??|ai?1n?bi|??|bi?ci|
i?1??(|bi?1ni?ai|?|ci?bi|)
??|ci?1i?ai|?d(A,C)． ?????
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?8分
20（Ⅲ）解法一：d(A,B)??|bi?1i?ai|．
设bi?ai(i?1,2,?,20)中有m(m?20)项为非负数，20?m项为负数．不妨设
i?1,2,?,m时bi?ai?0；i?m?1,m?2,?,20时，bi?ai?0．
20所以 d(A,B)?
?|bi?1i?ai|
?[(b1?b2???bm)?(a1?a2???am)]?[(am?1?am?2???a20)?(bm?1?bm?2???b20)]
因为 d(I,A)?d(I,B)?13，
202020i20所以 ?(ai?1)?i?1?(bi?1?1)， 整理得 ?ai?i?1?bi?1i．
20所以 d(A,B)?10分
?|bi?1i?ai|?2[b1?b2???bm?(a1?a2???am)]．?????
因为 b1?b2???bm?(b1?b2???b20)?(bm?1?bm?2???b20) ?(13?20)?(20?m)?1?13?m； 又 a1?a2???am?m?1?m，
所以 d(A,B)?2[b1?b2???bm?(a1?a2???am)] ?2[(13?m)?m]?26．
即 d(A,B)?26． ?????
12分
对于
A?(1,1,?,1,14)，B?(14,1,1,?,1)，有
A，B?S20，且
d(I,A)?d(I,B)?13，d(A,B)?26．
综上，d(A,B)的最大值为26． ?????
13分
解法二：首先证明如下引理：设x,y?R，则有|x?y|?|x|?|y|． 证明：因为 ?|x|?x?|x|，?|y|?y?|y|， 所以 ?(|x|?|y|)?x?y?|x|?|y|，
即 |x?y|?|x|?|y|．
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2020i所以 d(A,B)??|bi?1?ai|??|(bi?120i?1)?(1?ai)|
??(|bi?120i?1|?|1?ai|)
20??|ai?1i?1|??|bi?1i?1|?26． ?????
11分
上式等号成立的条件为ai?1，或bi?1，所以 d(A,B)?26． ?????12分 对于
A?(1,1,?,1,14)，B?(14,1,1,?,1)，有
A，B?S20，且
d(I,A)?d(I,B)?13，d(A,B)?26．
综上，d(A,B)的最大值为26． ?????
13分
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