甲 内容要点
一．极限的概念与基本性质
1．极限的定义
f?x??A（用f?x0?0?表示f?x?在x0的 （7）lim?x?x0左极限值）
任给??0，存在正数?，当???x?x0?0时，就有f?x??A??
其中f?x0?0?称为f?x?在x0处右极限值，
f?x0?0?称为f?x?在x0处左极限值。
有时我们用limf?x??A表示上述六类函数的极 （1）limn??xn?A （称数列?xn?收敛于A）
任给??0，存在正整数N，当n?N时，就有
xn?A??。
（2）xlim???f?x??A
任给??0，存在正整X，当x?X时，就有
f?x??A??。 （3）xlim???f?x??A
任给??0，存在正数X，当x??X时，就有f?x??A??
（4）limx??f?x??A
任给??0，存在正数X，当x?X时，就有
f?x??A??
（5）limx?xf?x??A
0 任给??0，存在正数?，当0?x?x0??时，就有f?x??A??
（6）xlim?x?f?x??A（用f?x0?0?表示f?x?在x0的0右极限值）
任给??0，存在正数?，当0?x?x0??时，就有f?x??A??
限，它具有的性质，上述六类函数极限皆具有这种性质，有时我们把xn?f?n?，把数列极限也看作这种抽象的变量的极限的特例，以便于讨论。
2．极限的基本性质
定理1．（极限的唯一性）设limf?x??A，
limf?x??B，则A?B
定理2．（极限的不等式性质）设limf?x??A，
limg?x??B
若x变化一定以后，总有f?x??g?x?，则A?B 反之，A?B，则x变化一定以后，有f?x??g?x? （注：当g?x??0，B?0情形也称为极限的保号性）
定理3．（极限的局部有界性）设limf?x??A 则当x变化一定以后，f?x?是有界的。 定理4．设limf?x??A，limg?x??B 则（1）lim?f?x??g?x???A?B （2）lim?f?x??g?x???A?B
（3）lim?f?x??g?x???A?B （4）limf?x?A? ?B?0? g?x?Bg?x?
4．无穷小与极限的关系
limf?x??A?f?x??A???x?
其
中
（5）lim?f?x???AB?A?0?
二．无穷小
1．无穷小定义
若limf?x??0，则称f?x?为无穷小
（注：无穷小与x的变化过程有关，lim1x??x?0，当x??时，11x为无穷小，而x?x0或其它时，x不
是无穷小）
2．无穷大定义
任给M?0，当x变化一定以后，总有f?x??M，则称f?x?为无穷大。 记以limf?x???
3．无穷小与无穷大的关系
在x的同一个变化过程中 若f?x?为无穷大，则
1f?x?为无穷小， 若f?x?为无穷小，且f?x??0，则
1f?x?为无穷大 l?i?x??m0
5．两个无穷小的比较
设limf?x??0，limg?x??0，且limf?x?g?x??l
（1）l?0，称f?x?是比g?x?高阶的无穷小，记以f?x??0?g?x??
称g?x?是比f?x?低阶的无穷小。 （2）l?0，称f?x?与g?x?是同阶无穷小。 （3）l?1，称f?x?与g?x?是等价无穷小，记以
f?x?~g?x?
6．常见的等价无穷小
当x?0时
sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x 1?cosx~12x2，ex?1~x，ln?1?x?~x，?1?x? ??1~?x
7．无穷小的重要性质
有界变量乘无穷小仍是无穷小
5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学 三．求极限的方法
1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则
2．两个准则
准则1．单调有界数列极限一定存在
（1）若xn?1?xn（n为正整数）又xn?m（n为正整数）
则limn??xn?A存在，且A?m
（2）若xn?1?xn（n为正整数）又xn?M（n为正整数）
则limn??xn?A存在，且A?M
准则2．（夹逼定理）设g?x??f?x??h?x? 若limg?x??A，limh?x??A，则limf?x??A
3．两个重要公式
公式1．limsinxx?0x?1 n 公式2．lim?1??1?un????1?n???e；limu????1?u???e；
lim?1?v?1vv?0?e
4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
一和数学二）
当x?0时，ex?1?x?x2xn2!???n!?0?xn? sinx?x?x3x5nx2n?13!?5!?????1??n?1?!?0?x2n?12?
2ncosx?1?x2x4nx2!?4!?????1??2n?!?0?x2n?
ln?1?x??x?x22?x33?????1?n?1xnn?0?xn?
?2n?arctaxn?x?x3?x5?????1n?1x1n?1?0?x2n?1352?
?1?x? ??1??x?????1?2!x2???????1??????n?1??n!
6．洛必达法则
法则1．（
00型）设（1）limf?x??0，limg?x??0 （2）x变化过程中，f??x?，g??x?皆存在 （3）limf??x?g??x??A（或?） 则limf?x?g?x??A（或?）
（注：如果limf??x?g??x?不存在且不是无穷大量情形，则不能得出limf?x?g?x?不存在且不是无穷大量情形）
法则2．（
?型）设（1）limf?x???，limg?x??? ? 例1．设am?0，bn?0求
（2）x变化过程中，f??x?，g??x?皆存在 （3）limf??x??A（或?） g??x?amxm?am?1xm?1???a1x?a0 limn?1x??bxn?b???b1x?b0nn?1x
例2．设a?0，r?1，当lim?a?ar???arn?1?
n?? 则limf?x??A（或?）
g?x?
7．利用导数定义求极限
基本公式：f?x0??x??f?x0??limx?0?x?f??x0? [如果存在]
8．利用定积分定义求极限
基本公式 l1n?k?1n?im?n?f???k?1?n??0f?x?dx [如果存
在]
9．其它综合方法
10．求极限的反问题有关方法
乙 典型例题
一．通过各种基本技巧化简后直接求出极限
解：lim?a?arn?1n?????ar??limn??a1?rn1?r?a1?r 特例（1）求
lim?2?2?2?2?3nn?1??n???????????????1??2??? ?3?3??3??3??? 解：例2中取a?223，r??3，可知原式
2?321???2??5
??3??n1?1 （2）lim2?????1??2??n??n?21?1??1?3?43 3????3??2 例3．求3n?1lim?2nn??2n?1?3n
例4．设l是正整数，求nlim?1n???
k?1k?k?l
特例：（1）nlim?1n??k?1k?k?1??1
（2）nlim?1n???3k?1k?k?2?4
例5．设l是正整数，求nliml?2k?l?n???k?1k2?k?l?2
特例：（l?1）lim?n??k?1n2k?1k2?k?1?2?1
15? 242?1tanx?1?cosx?1tanx1lim?lim? x?0x?02x?1?cosx?2x2 （l?2）lim?n??k?1n2?2k?2?k2?k?2?2?1? 解二：原式
?limx?0?1?tanx?1???1?sinx?1??1limtx?1?cosx?2x?0x?sxa
x?1?cx? 例
6
．
设
d?0为常数，求
lim?n???11?d1??n?1?d??n2?n2???n2??
例7．求下列各极限 （1）lim1?x?1?xx?0x （2）
31?x?3lim1?xx?0x （3）3lim1?x?31?xx?01?x?1?x （4）
xlim????x2?x?x2?3x?
二．用两个重要公式
例1．求limsinxx????x
例2．求lim1?tanx?1?sinxx?0x?1?cosx?
解一：原式?lim?tanx?1???sinx?1?x?0x?1?cosx??1?tanx?1?sinx?
?12lx?imtanx10x?2 例3．求limxxxn??cos2cos4?cos2n
例4．求下列极限
x?10 （1）lim?2?x????1?x?? 1lim??1?x??xx?0?1?x? x （3）lim?x???x?1??x?1?? x?1lim?2x?3?x????2x?1??
例5．求下列极限 （1）lim?1cotxx???tanx? （3）lim?cot2xx?0cosx? lim?cosxcsc2?3x?x?0?
三．用夹逼定理求极限
例1．求lim?1352n?1?n????2?4?6?2n?? （2）
（4）
42）limx?1x?1x （4）
（