例1．求函数3f?x??x?1x?1的间断点，并确定其类型
例2．求函数f?x??x2?2xx?x2?4?的间断点，并确定其类型。
例3．求函数f?x??tanxx的间断点，并确定其类型。
解：这是初等函数，在它的定义区间内函数都是连续的，此函数在x?0及x?k???2?k?0,?1,?2,??无定义，所以它的间断点是 x?0和x?k???2?k?0,?1,?2,??
下面确定它们的类型。
当x?0时，由于limtanxx?0x?1，所以x?0是第一类间断点，且是可去间断点。 当
x?k???2?k?0,?1,?2,??时，由于
limtanxx???k?0,?1,?2,??， x?k???2 所以x?k???2?k?0,?1,?2,??是第二类间断点，
且是无穷间断点。 例4．求函数
?1? f?x???exx?0?0,x?0 ???arcta1xn,x?0 的间断点，并确定其类型。
四．求连续函数的极限
分两种情形：
1．如果f?x?是初等函数，x0是f?x?定义区间内的一点，
则limx?xf?x??f??limx???f?x0?， 0?x?x0? 即只需在函数的表达式中把自变量x换成它的极限值x0就行了。
例1．求limln?2?sinx? x??2 解：ln?2?sinx?是初等函数，x??2是它的定义
区间内的一点，所以
limln?2?sinx??ln??2?sin????ln3 x??2?2? 2．如果limx?xg?x??a，而函数y?f?u?在点u?a连
0续，
则limx?xf?g?x???f???limg?x????f?a? 0x?x0? 例2．求lim?sinx?x?0arctan??x?? 解：因limsinxx?0x?1，而函数y?arctanu在点u?1连续，所以
limx?0arctan??sinx??x???arctan???limsinx?x?0x???arcta1?n?4 例3．求lim2x?1x?0x
例4．设f?x?在x?2处连续，且f?2??3，求
lim?4?x?2f?x??1?x?2?x2?4??
五．利用介值定理的推论判断方程的根
例1．证明五次代数方程x5?5x?1?0在区间
?1,2?内至少有一个根。
例2．证明x?sinx?2至少有一个不超过3的实根
例3．设f?x?在?a,b?上连续，且f?a??a，f?b??b，
第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分
甲 内容要点
一．导数与微分概念
1．导数的定义
设函数y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量
?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限
l?f?x0??x??f?x?x?0?iyx?m?lx?0im0??x存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商） 记作f??xdydf?x?0?，或y?x?x，?x，0dxx0dxx?x0等。
并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，则称函数y?f?x?在点x0处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，
?x?x?x0， 则f??x0??limf?x??f?x0?x?xx?x
00 我们也引进单侧导数概念。 右
导
数
：
f???x0??lim?x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0? ?lim??x?0x?x0?x导
数
：
例如，在x0?0处连续，却不可导。 y?f?x??x，
4．微分的定义
设函数y?f?x?在点x0处有增量?x时，如果函数 左
f???x0??lim?x?x0f?x??f?x0?f?x0??x??f?x0? ?lim??x?0x?x0?x 则有
f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0处左、右导数皆存在且相等。
2．导数的几何意义与物理意义
如果函数y?f?x?在点x0处导数f??x0?存在，则在几何上f??x0?表示曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的斜率。
切线方程：y?f?x0??f??x0??x?x0? 法线方程：y?f?x0???1f??x?x?x0?0??f??x0??0?
设物体作直线运动时，路程S与时间t的函数关系为S?f?t?，如果f??t0?存在，则f??t0?表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系
如果函数y?f?x?在点x0处可导，则f?x?在点x0处一定连续，反之不然，即函数y?f?x?在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。
的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表达式 ?y?A?x0??x?0??x???x?0?
其中A?x0?为与?x无关，0??x?是?x?0时比?x高阶的无穷小。
则称f?x?在x0处可微，并把?y中的主要线性部分A?x0??x称为f?x?在x0处的微分， 记以dyx?x或df?x?
0x?x0 我们定义自变量的微分dx就是?x。
5．微分的几何意义
?y?f?x0??x??f?x0?是曲线y?f?x?在点x0处相应于自变量增量?x的纵坐标f?x0?的增量，微分
dyx?x是曲线y?f?x?在点M0?x0,f?x0??处切线的
0纵坐标相应的增量（见图）。
6．可微与可导的关系
f?x?在x0处可微?f?x?在x0处可导。
且dyx?x?A?x0??x?f??x0?dx
0 一般地，y?f?x?则dy?f??x?dx 所以导数f??x??dydx也称为微商，就是微分之商的含义。
7．高阶导数的概念
如果函数y?f?x?的导数y??f??x?在点x0处仍是可导的，
则把y??f??x?在点x0处的导数称为y?f?x?在点x0处的二阶导数，
记以y??d2yx?x，或f???x0?，或2等，0dxx?x
0 也称f?x?在点x0处二阶可导。
如果y?f?x?的n?1阶导数的导数，称为
y?f?x?的n阶导数记以y?n?，f?n??x?，dnydxn等，这时也称y?f?x?是n阶可导。
二．导数与微分计算
1．导数与微分表
?c???0 ?x????? x??1 （?实常数）d?x???? x??1dx （?实常数）
?sinx???cosx dsinx?cosxdx
?cosx????sinx dcosx??sinxdx
?tanx???sec2x dtanx?sec2xdx
?cotx????csc2x dcotx??csc2xdx
?secx???secxtanx dsecx?secxtanxdx
?cscx????cscxcotx dcscx??cscxcotxdx ?log?1ax??xlna?a?0,a?1? dlogdxax?xlna?a?0,a?1? d?c??0
?lnx???1x
dlnx?1xdx
?ax???axlna?a?0,a?1? dax?axlnadx?a?0,a?1?
?ex???ex dex?exdx
?arcsixn???11?x2
darcsinx?11?x2dx
?arccox?s???11?x2
darccosx??11?x2dx
?arctanx???11?x2 darctanx?11?x2dx ?arccotx????11?x2
darccotx??11?x2dx ?ln?x?x2?a2????1x2?a2
dln?x?x2?a2??1x2?a2dx
?ln?x?x2?a2????1x2?a2
dln?x?x2?a2??1x2?a2dx
2．四则运算法则
?f?x??g?x????f??x??g??x? ?f?x??g?x????f??x?g?x??f?x?g??x?
??f?x???f??x?g?x??f?x?g??x??g?x????g2?x? ?g?x??0? d?f?x??g?x???df?x??dg?x? d?f?x??g?x???g?x?df?x??f?x?dg?x?
d??f?x??g?x?df?x??f?x?dg?x??g?x????g2?x? ?g?x??0?
3．复合函数运算法则
设y?f?u?，u???x?，如果??x?在x处可导，f?u?在对应点u处可导，则复合函数y?f???x??在x处可导，且有
dydx?dydududx?f????x?????x? 对应地dy?f??u?du?f????x?????x?dx
由于公式dy?f??u?du不管u是自变量或中间变量都成立。因此称为一阶微分形式不变性。
4．由参数方程确定函数的运算法则
设x???t?，y???t?确定函数y?y?x?，其中???t?，
???t?存在，且???t??0，则
dydx????t????t? ????t??0?