解：令xn?12?352n?1242n4?6?2n，yn?3?5?2n?1 则0?xn?yn，
于是0?x21n?xnyn?2n?1
由夹逼定理可知lim2n??xn?0，于是原极限为0。 例2．求下列极限 nlim?1n??k?1n2?k
四．用洛必达法则求极限
1．“0?0”型和“?”型
1 例1．求n?sin1limnn?? sin31n 解：离散型不能直接用洛必达法则，故考虑 limx?sinx等价无穷小代换x?sx?0sin3xliminxx?0x3 ?l1?cosxx?im03x2?lx?imsinx06x?16 ?原式?16
?12 例2．求limexx?0x10
2．“??? ”型 和“0??”型。
例1．求lim?11?x?0??x?ex?1??
例2．求lim?1cos2x?x?0??sin2x?x??2??
例3．求xlim?0?sin2x?lnx
例4．设a?0，b?0常数，求?11xx??xlim???x??a?b?? ?
3．“1?”型，“00”型和“?0”型
这类都是lim?f?x??g?x?形式，可化为elimg?x?ln?f?x?? 而limg?x?ln?f?x??都是“0??”型，按2的情形处理
例1．求limsin2xx?0?x
例2．求lim?cosxcot2xx?0? （前面已用重要公式的方
法）
解：令y??cosx?cot2x，lny?cot2xlncosx
limlny?limcot2xlncosx?limlncosxlncox?0x?0x?0tan2x?limsxx?0x2
（“0?tanx0”型）=limx?02x??12， ? l?12x?im0y?e
例3．求lim?x????sin1x?cos1?xx??
五．用无穷小重要性质和等价无穷小代换
n2?n?1 例1．求limsinn2?1
n??3n?13111??3n2?n?1nn2n3?lim?0， 解：? lim
n??n??13n?13?n3?x2?1, x?1??x?1 （2）g?x???
1?x2?, x?1?2? 解：（1）f?0?0??lim?x?0sin2xsin2x?lim2??2 ?x?0x2x sinn2?1?1，
根据有界变量乘无穷小仍是无穷小，可知原式
x2x2?lim?2 f?0?0??limx?0?1?cosxx?0?12x2 ?limf?x??2
?0
例2．求lim?1?cos?2x?arctan3xx?0?ex?1ln?1?2x?sin5x
3sinx?x2cos1 例3．求limx x?0?1?cosx?ln?1?x? 解：这个极限虽是“
00”型，但分子，分母分别 求导数后的极限不存在，因此不能用洛必达法则。
?1 原式?lim1?3sinxx?xcos?x?3 x?01?cosx??ln?1?x??? ?x?2???
例4．设n为正整数，求limn?n1?x?x2?n1?x? x?01?cosx
六．求分段函数的极限
例1．求下列函数在分段点处的极限
?sin2x, x?0 （1）f?x?????xx ?2??1?cosx, x?0x?0（2）g?1?0??limx2?1x?1?x?1?limx?1??x?1??2 g?1?0??lim?21?3x?1???x?2???2
因为g?1?0??g?1?0?，故limx?1g?x?不存在。
?1例2．求lim?2?exsinx??x?0??4?? ?1?exx??七．求极限的反问题 例1．设limx2?ax?bx?1sin?x2?1??3 求a和b
例2．设lim1xt2x?0bx?sinx?0a?tdt?1，求a和b。 §1.3 连续
甲 内容要点
则称函数f?x?在点x0处左连续；如果
?x?x0limf?x??f?x0?，则称函数f?x?在点x0处右连续。
由上述定义2可知，如果函数y?f?x?在点x0处 一．函数连续的概念
1．函数在点x0处连续
定义1．设函数y?f?x?在点x0的某个邻域内有定义，如果当自变量的改变量?x（初值为x0）趋近于0时，相应的函数改变量?y也趋近于0，即
?limx?0?y?0
或
?limx?0?f?x0??x??f?x0???0
则称函数y?f?x?在点x0处连续。
函数y?f?x?在点x0处连续也可作如下定义。 定义2．设函数y?f?x?在点x0的某个领域内有定义，如果当x?x0时，函数f?x?的极限值存在，且等于x0处的函数值f?x0?，即
xlim?xf?x??f?x0?
0 则称函数y?f?x?在点x0处连续，此时有
xlim?x?f?x??xlim?x?f?x??f?x0? 00 并且有
xlim?xf?x??f?x0??f?limx?
0x?x0 即如果函数在点x0处连续，则在点x0处可以交换极限号和函数号的顺序。
定义3．设函数y?f?x?，如果xlim?x?f?x??f?x0?，0连续，则f?x?在x0处既左连续也右连续。
2．函数在区间内（上）连续的定义
如果函数y?f?x?在开区间?a,b?内的每一点都连续，则称f?x?在?a,b?内连续。
如果y?f?x?在开区间内连续，在区间端点a右连续，在区间端点b左连续，则称f?x?在闭区间?a,b?上连续。
二．函数的间断点及其分类
1．函数的间断点的定义
如果函数y?f?x?在点x0不连续，则称x0为f?x?的间断点。
2．函数的间断点的分类
函数的间断点分为两类： （1）第一类间断点
设x0是函数y?f?x?的间断点。如果f?x?在间断
点x0处的左、右极限都存在，则称x0是f?x?的第一类间断点。
第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 （2）第二类间断点
第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。
本性质。这些性质以后都要用到。
定理1．（有界定理）如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，则f?x?必在?a,b?上有界。
定理2．（最大值和最小值定理）如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，则在这个区间上一定存在最大值
M和最小值m。
常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。 其中最大值M和最小值m的定义如下： 例如．x?0 是f?x??sinxx的可去间断点，是f?x??xx的跳跃间断点，是f?x??1x的无穷间断点，是f?x??sin1x的振荡间断点。
三．初等函数的连续性
1．在区间I连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I仍是连续的。
2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。
3．在区间I连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。
4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。 5．初等函数在它的定义区间内是连续的。
四．闭区间上连续函数的性质
在闭区间?a,b?上连续的函数f?x?，有以下几个基
定义 设f?x0??M是区间?a,b?上某点x0处的函数值，如果对于区间?a,b?上的任一点x，总有
f?x??M，则称M为函数f?x?在?a,b?上的最大值。同样可以定义最小值m。
定理3．（介值定理）如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且其最大值和最小值分别为M和m，则对于介于m和M之间的任何实数c，在?a,b?上至少存在一个?，使得
f????c
推论：如果函数f?x?在闭区间?a,b?上连续，且
f?a?与f?b?异号，则在?a,b?内至少存在一个点?，使得
f????0
这个推论也称为零点定理
思考题：什么情况下能保证推论中的?是唯一的？
乙 典型例题
一．讨论函数的连续性
由于初等函数在它的定义区间内总是连续的，所以，函数的连续性讨论多是指分段函数在分段点处的连续性。对于分段函数在分段点处的连续性，若函数在分段点两侧表达式不同时，需根据函数在一点连续的充要条件进行讨论。 例1．讨论函数
?1?ex,x?f?x???0?0,x?0
??1?xsinx,x?0 在点x?0处的连续性。 解： 因
1f?0?0??xxlim?0?f?x??xlim?0?e?0 f?0?0??xlim?0?f?x??1xlim?0?xsinx?0 f?0??0
即有f?0?0??f?0?0??f?0?，故f?x?在点x?0连续。
例2．讨论函数
??ln?1?x?, x ? 0?x f?x???1, ? 0 ?2x??1?x?1?x, x ?0 在点x?0的连续性。
二．已知函数的连续性求未知参数
例1．设?f?x???sinx??xx?0在x?0处连续
?k x?0 求常数k
例2．如果函数
??1xsinx x?0 f?x????p x?0 ???xsin1x?q x?0 在x?0处连续，求常数p和q。
??2x??1 例3．设f?x????x2?ax?b?1?x?1在??2x?1???,???内连续
求常数a和b
解：?f??1??1?a?b，f?1??1?a?b， 由x??1的连续性可知1?a?b??2得b?a??3 由x?1的连续性可知1?a?b?2得b?a?1 所以a?2,b??1
三．求函数的间断点并确定其类型