小公鸡 鸡鸡鸡
2007年硕士研究生入学考试数学二试题及答案解析
一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
(1) 当x?0时，与x等价的无穷小量是 (A) 1?ex?. (B) ln1?x. (C) 1?x?1. (D) 1?cosx. [ B ]
1?x【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案. 【详解】 当x?0时，有1?e?x??(ex?1)~?x；1?x?1~1x； 21?cosx~1x11(x)2?x. 利用排除法知应选(B). 22在[??,?]上的第一类间断点是x =
(2) 函数f(x)?(e?e)tanxx(e?e)1x(A) 0. (B) 1. (C) ??2. (D)
?. [ A ] 2【分析】 本题f(x)为初等函数，找出其无定义点即为间断点，再根据左右极限判断其类型。
【详解】 f(x)在[??,?]上的无定义点，即间断点为x =0,1,?1x1x?. 2又 lim?x?0(e?e)tanxx(e?e)1x?lim?x?0tanxe?e?1?1?(?1)??1， xex?etanxe?e?1?1?1?1， xex?e1xx?0lim?(e?e)tanxx(e?e)1x1x?lim?x?0可见x=0为第一类间断点，因此应选(A).
(3) 如图，连续函数y=f(x)在区间[?3，?2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[?2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)?则下列结论正确的是
?x0f(t)dt.35F(?2). (B) F(3)?F(2). 4435(C) F(?3)?F(2). (D) F(?3)??F(?2). [ C ]
44(A) F(3)??【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f(x)在不同区间段上的符号，从而搞清
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楚相应积分与面积的关系。
【详解】 根据定积分的几何意义，知F(2)为半径是1的半圆面积：F(2)?F(3)是两个半圆面积之差：F(3)?1?， 23113[??12???()2]??=F(2)，
422803?30F(?3)???30f(x)dx???f(x)dx??f(x)dx?F(3)
因此应选(C).
(4) 设函数f(x)在x=0处连续，下列命题错误的是
f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)=0. (B) 若lim存在，则f(0)=0.
x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x) (C) 若lim存在，则f?(0)存在. (D) 若lim存在，则f?(0)存在
x?0x?0xx(A) 若lim[ D ]
【分析】 本题为极限的逆问题，已知某极限存在的情况下，需要利用极限的四则运算
等进行分析讨论。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为0，因此分子的极限也必须为0，均可推导出f(0)=0. 若limx?0f(x)f(x)?f(0)f(x)?lim?0，可见(C)也正确，存在，则f(0)?0,f?(0)?limx?0x?0xx?0x故应选(D). 事实上，可举反例：f(x)?x在x=0处连续，且
limx?0x??xf(x)?f(?x)?0存在，但f(x)?x在x=0处不可导. =limx?0xx1?ln(1?ex)，渐近线的条数为 x (5) 曲线y?(A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]
【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。
x【详解】 因为lim[?ln(1?e)]??，所以x?0为垂直渐近线；
x?01x又 lim[?ln(1?e)]?0，所以y=0为水平渐近线；
x???1xxy1ln(1?ex)ln(1?ex)ex]?lim?1， 进一步，lim?lim[2?=limxx???xx???xx???x???xx1?e lim[y?1?x]?lim[?ln(1?e)?x]=lim[ln(1?e)?x]
x???x???x????x1xxx =lim[lne(1?e)?x]?limln(1?e)?0，
x???x???x?x于是有斜渐近线：y = x. 故应选(D).
(6) 设函数f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0. 令un?f(n)(n?1,2,?,), 则下列结论正确的是
(A) 若u1?u2，则{un}必收敛. (B) 若u1?u2，则{un}必发散.
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(C) 若u1?u2，则{un}必收敛. (D) 若u1?u2，则{un}必发散. [ D ]
【分析】 利用反例通过排除法进行讨论。
【详解】 设f(x)=x, 则f (x)在(0,??)上具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但
2{un}?{n2}发散，排除(C); 设f(x)=
1, 则f(x)在(0,??)上具有二阶导数，且x1f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{}收敛，排除(B); 又若设f(x)??lnx，则f(x)在(0,??)上
n具有二阶导数，且f??(x)?0,u1?u2，但{un}?{?lnn}发散，排除(A). 故应选(D).
(7) 二元函数f(x, y)在点(0，0) 处可微的一个充分条件是 (A)
(x,y)?(0,0)lim[f(x,y)?f(0,0)]?0.
(B) limx?0f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)?0，且lim?0.
y?0xy(C)
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0.
(D) lim[fx?(x,0)?fx?(0,0)]?0，且lim[fy?(0,y)?fy?(0,0)]?0. [ C ]
x?0y?0【详解】 选项(A)相当于已知f(x, y)在点(0,0)处连续，选项(B)相当于已知两个一阶偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)存在，因此(A),(B)均不能保证f(x, y)在点(0，0)处可微。
选项(D)相当于已知两个一阶偏导数fx?(0,0),fy?(0,0)存在，但不能推导出两个一阶偏导函数fx?(x,y),fy?(x,y)在点(0,0)处连续，因此也不能保证f(x, y)在点(0，0) 处可微。
若
(x,y)?(0,0)limf(x,y)?f(0,0)x?y22?0，则
f(x,0)?f(0,0)f(x,0)?f(0,0)x2lim?lim??0，即fx?(0,0)?0,同理有
22x?0x?0xxx?0fy?(0,0)?0.
[f(?x?,y?)f从而 lim??0?(0,?0)fx]?(?(x0?,f0y)?y(0,0)
)??lim = lim??0f(?x,?y)?f(0,0)f(?x,?y)?f(0,0)(?x)?(?y)22?(?x,?y)?0=0
根据可微的定义，知函数f(x, y) 在(0，0) 处可微，故应选(C).
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?1 (8) 设函数f(x, y)连续，则二次积分(A) (C)
??dx?2sinxf(x,y)dy等于
???101dy????arcsiny??arcsinyf(x,y)dx. (B)
f(x,y)dx. (D)
??010dy???arcsinyf(x,y)dx.
f(x,y)dx. [ B ]
0dy??12dy????arcsiny2【分析】 先确定积分区域，画出示意图，再交换积分次序。 【详解】 积分区域 D:
?2?x??,sinx?y?1, 也可表示为
D: 0?y?1,??arcsiny?x??, 故
???2dx?1sinxf(x,y)dy=?dy?01???arcsinyf(x,y)dx，应选(B).
(9) 设向量组?1,?2,?3线性无关，则下列向量组线性相关的是 (A)
?1??2,?2??3,?3??1. (B) ?1??2,?2??3,?3??1.
(C) ?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. (D)
【详解】 用定义进行判定:令
?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1. [ A ]
x1(?1??2)?x2(?2??3)?x3(?3??1)?0，
得 (x1?x3)?1?(?x1?x2)?2?(?x2?x3)?3?0.
?x3?0,?x1 ??0, 因?1,?2,?3线性无关，所以 ??x1?x2 ? ?x2?x3?0.?1又 ?101?1?10?0， 10故上述齐次线性方程组有非零解, 即?1??2,?2??3,?3??1线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是线性无关的.
?2?1?1??100?????(10) 设矩阵A???12?1?, B??010?,则A与B
??1?12??000?????(A) 合同, 且相似. (B) 合同, 但不相似 .
(C) 不合同, 但相似. (D) 既不合同, 又不相似. [ B ] 二、填空题 (11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.)
(11) limarctanx?sinx1?. =3x?0x6小样
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1?cosx22arctanx?sinx111?(1?x)cosx1?x【详解】 lim= lim?lim??3222x?0x?0x?0x3x31?xx1?2xcosx?(1?x2)sinx111??(?1?)??. =lim3x?02x326?x?cost?cos2t,? (12) 曲线?上对应于t?的点处的法线斜率为1?2.
4?y?1?sint【详解】 因为
dyyt?costdy，于是??dxxt??sint?2costsintdxt??4??1，故法线斜率
1?2为 1?2.
(13) 设函数y?112,则y(n)(0)=(?1)nn!()n. 2x?333?2【详解】 y?(2x?3)?1, y???1?2(2x? 一般地，y(n)?(?1)nn!?2n(2x?3)?n?1， 从而 y(n)?,????1?3)?y(22)?x2(?2 33)12(0)=(?1)nn!()n.
33 (14) 二阶常系数非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e2x的通解为
y?C1ex?C2e3x?2e2x. 其中C1,C2为任意常数.
【详解】 特征方程为 ??4??3?0，解得?1?1,?2?3. 可见对应齐次线性微分方程y???4y??3y?0的通解为 y?C1ex?C2e3x.
设非齐次线性微分方程y???4y??3y?2e的特解为y?ke，代入非齐次方程可得k= ?2. 故通解为y?C1ex?C2e3x?2e2x.
(15) 设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则x2x*2x2yxxy?z?z2y2x?y? =?f1??f2?. ?x?yxy【详解】
?zy1?z1x?f1??(?2)?f2??，?f1???f2??(?2)，于是有 ?xxy?yxy?z?zy11x2y2x?y?x[?2f1??f2?]?y[f1??2f2?]=?f1??f2?. ?x?yxyxyxy x小样