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?0??0 (16) 设矩阵A??0??0?100001000??0?3, 则A的秩为1. 1??0???0??03【详解】 依矩阵乘法直接计算得 A??0??0?三、解答题：(17－24小题，共86分. )
(17)（本题满分10分）
设f(x)是区间[0, 其中f?1000000001??0?3, 故r(A)=1. ?0?0???4]上的单调、可导函数，且满足 f?1(t)dt??t0x?f(x)0cost?sintdt，
sint?cost是f的反函数，求f(x).
【分析】 等式两端先对x求导，再积分即可。
cost?sintdt两端先对x求导，得 ?00sint?costcosx?sinx?1 f[f(x)]f?(x)?x，
sinx?cosxcosx?sixncosx?sixn即 xf?(x)?x， 也即 f?(x)?.
sinx?cosxsinx?cosxcosx?sixnd(xs?inxcos)dx??于是 f(x)??
sinx?cosxsinx?cosx【详解】 在等式
f(x)f(t)dt??t?1x=ln(sinx?cosx)?c.
由题设知, f(0)=0, 于是c = 0，故f(x)?ln(sinx?cosx). (18)（本题满分11分）
设D是位于曲线y?xa?x2a(a?1,0?x???)下方、x轴上方的无界区域。
(I) 求区域D绕x轴旋转一周所成旋转体的体积V(a); (II) 当a为何值时，V(a)最小? 并求此最小值.
【分析】 V(a)的值可通过广义积分进行计算，再按通常方法求V(a) 的最小值即可。 【详解】 (I) V(a)?????0ydx?????02??0x???axadx=???xdaa
lna0?xax?aa?[xa =?lna????0a2?adx]?.
(lna)2?xa小样
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2a(lna)2?a2(2lna)? (II) V?(a)???(lna)41a?0,
得 lna[lna?1]?0， 即 a = e.
由于a = e是唯一的驻点，是极小值点，也是最小值点，最小值为V(e)??e2. (19)（本题满分10分）
求微分方程y??(x?y?2)?y?满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解。
【分析】 本题为可降阶的二阶微分方程，作变量代换即可。 【详解】 令y??u，则原方程化为 u?(x?u)?u 即
2dx1?x?u， duu?其解为 x?e1??duu?du?(?ueudu?C)?u(u?C),
21利用u=y?(1)?1,有C =0, 于是 x?u, 由 y?(1)?1知应取u?再由 y??x.
x，积分得y??123xdx?x2?C1，代入初始条件y(1)=1，得C1?，
33231故满足初始条件y(1)?y?(1)?1的特解为y?x2?.
33 (20)（本题满分11分）
y?1 已知函数f(u)具有二阶导数，且f?(0)?1，函数y=y(x)由方程y?xe?1所确定，设
dzz?f(lny?sinx)，求
dx【详解】
d2zx?0,dx2x?0.
dzy??f?(lny?sinx)?(?cosx)， dxyd2zy?y??y?y?22 ?f???(?cosx)?f??(?sinx) 22dxyy在y?xey?1?1中, 令x= 0 得y=1 . 而由y?xey?1?1两边对x求导得
y??ey?1?xey?1y??0
再对x求导得 y???ey?1y??ey?1y??xey?1y?2?xey?1y???0
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?1y?,?将x=0, y=1代入上面两式得 y?(0)故
(?0)
dzdxx?0?f?(0)(0?0)?0,
d2zdx2x?0?f?(0)?(2?1)?1.
（21）（本题满分11分）
设函数f(x), g(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，f(a)=g(a), f(b)=g(b), 证明：存在??(a,b)，使得f??(?)?g??(?).
【分析】 需要证明的结论与导数有关，自然联想到用微分中值定理。事实上，若令
F(x)?f(x)?g(x)，则问题转化为证明F??(?)?0, 只需对F?(x)用罗尔定理，关键是找
到F?(x)的端点函数值相等的区间(特别是两个一阶导数同时为零的点)，而利用F(a)=F(b)=0, 若能再找一点c?(a,b)，使得F(c)?0，则在区间[a,c],[c,b]上两次利用罗尔定理有一阶导函数相等的两点，再对F?(x)用罗尔定理即可。
【证明】 构造辅助函数F(x)?f(x)?g(x)，由题设有F(a)=F(b)=0. 又f(x), g(x)在(a, b)内具有相等的最大值, 不妨设存在x1?x2, x1,x2?(a,b)使得
f(x1)?M?maxf(x),g(x2)?M?maxg(x)，
[a,b][a,b]若x1?x2，令c?x1, 则F(c)?0.
若x1?x2，因F(x1)?f(x1)?g(x1)?0,F(x2)?f(x2)?g(x2)?0，从而存在
c?[x1,x2]?(a,b)，使F(c)?0.
在区间[a,c],[c,b]上分别利用罗尔定理知，存在?1?(a,c),?2?(c,b)，使得
F?(?1)?F?(?2)?0.
再对F?(x)在区间[?1,?2]上应用罗尔定理，知存在??(?1,?2)?(a,b)，有
F??(?)?0， 即 f??(?)?g???().
（22）（本题满分11分） 设二元函数
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?x2,x?y?1,?1 f(x,y)??
,1?x?y?2,?x2?y2?计算二重积分
??f(x,y)d?，其中D?{(x,y)Dx?y?2}.
【分析】 被积函数为分区域函数，利用积分的可加性分区域积分，在计算过程中注意利用区域的对称性和被积函数的奇偶性进行化简。
【详解】 由区域的对称性和被积函数的奇偶性有
??f(x,y)d??4??f(x,y)d?
DD1其中D1为D在第一象限的部分.
设 D11?{(x,y)|0?y?1?x，0?x?1},
D12?{(x,y)|1?x?y?2，x?0,y?0}
??D1f(x,y)d????x2d???dx?D111?x00x2dx
??x2(1?x)dx?011, 12?02sin??cos?2sin??cos?D12??f(x,y)d????D121x?y22d???2d??dr
?2ln(2?1).
因此
??Df(x,y)d??4??f(x,y)d??D11?42ln(2?1). 3(23) (本题满分11分)
设线性方程组
?x1?x2?x3? ?x1?2x2?ax3?x?4x?a2x23?1?0,?0, ①
?0.与方程 x1?2x2?x3?a?1 ②
有公共解，求a的值及所有公共解． 【分析】 两个方程有公共解就是①与②联立起来的非齐次线性方程组有解. 【详解】 将①与②联立得非齐次线性方程组:
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?0,?x1?x2?x3?x?2x?ax?0,?123 ③ ?2x?4x?ax?0,23?1??a?1.?x1?2x2?x3 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A作初等行变换得:
?1??1 A??1??1?112a4a2210??1??0??0???00???a?1???0110??1a?10?. ?0(a?2)(a?1)0?01?aa?1??于是1° 当a=1时，有r(A)?r(A)=2<3，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此时
?1??0A??0??0?010010000??0?， 0??0????1???1?????此时方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ?0?, 所以①与②的全部公共解为k?0?，
?1??1?????k为任意常数.
2° 当a =2时，有r(A)?r(A)=3，方程组③有唯一解, 此时
?1??0A??0??0?010000??01?， ?1?1?00???x1??0??0???????故方程组③的解为: ?1?, 即①与②有唯一公共解: 为x??x2???1?.
??????1????x3???1? (24) (本题满分11分)
设3阶对称矩阵Ａ的特征值?1?1,?2?2,?3??2,
53?1?(1,?1,1)T是Ａ
的属于?1的一个特征向量,记B?A?4A?E其中E为3阶单位矩阵.
(I) 验证?1是矩阵Ｂ的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量．
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