小公鸡 鸡鸡鸡
(II) 求矩阵Ｂ．
【分析】 根据特征值的性质可立即得B的特征值, 然后由B也是对称矩阵可求出其另外两个线性无关的特征向量.
【详解】 (I) 由A?1??1 得 A2?1?A?1??1, 进一步 A3?1??1, A5?1??1， 故 B?1?(A5?4A3?E)?1
?A5?1?4A3?1??1 ??1?4?1??1 ??2?1，
从而?1是矩阵Ｂ的属于特征值?2的特征向量.
因B?A?4A?E, 及Ａ的3个特征值?1?1,?2?2,?3??2, 得 B的3个特征值为?1??2,?2?1,?3?1.
设?2,?3为B的属于?2??3?1的两个线性无关的特征向量, 又
53Ａ为对称矩阵，得B也是对称矩阵, 因此?1与?2,?3正交, 即
?1T?2?0, ?1T?3?0
所以?2,?3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：
?x1??? (1,?1,1)?x2??0,
???x3??1???其基础解系为: ?1?,
?0????1???1???1???????1?0? , 故可取?2=??, ?3=?0?. ?0??1??1????????1??1???1???????即B的全部特征值的特征向量为: k1??1?, k2?1??k3?0?, 其中k1?0,是不为零的任
?1??0??1???????意常数, k2,k3是不同时为零的任意常数.
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?11?1???2??????1(II) 令P?(?1,?2,?3)=??110?, 则 PBP??1?，
?101??1?????
??2????1得 B?P?1?P
?1?????1?11??11?1???2?1?????1??121? =??110??3???101??1???112???????21?1??1?11??01?1?????1??121=?210?????101?. 3??201???112???110???????
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