，要使方程ax?2a?f(x)?0恰有四个不相等的实数
根，则直线y?ax?2a?a(x?2)的斜率满足kAG(1,2)，H(3，2)，A(?2,0)，所以kAH?H?a?kA，由题意可知，G25，kAG=232，所以
25?a?223，即a?(,)。
5322（14）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x?4x?y?0（2≤x≤4）上的一个
????????动点，点C在线段OA的延长线上．当OA?OC?20时，则点C的纵坐标的取值范围
是 ． 【答案】[?5,5]
由图象可知，当点A位于点B时，点C
2),D(2，?2)。当点的纵坐标最大。当点A位于点D时，点C的纵坐标最小由图象可知B(2，A位于点B时，OB?2性可知
BMyCOBOC????????????????????2，因为OA?OC?OA?OC?20，所以此时OC?52.由相似
?，解得yC?5，同理当点A位于点D时，解得yC??5，所以点C的纵坐
标的取值范围是?5?yC?5，即[?5,5]。
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三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?32sin?x?sin2?x2?12（??0）的最小正周期为?.
（Ⅰ）求?的值及函数f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）当x?[0,?2]时，求函数f(x)的取值范围.
（16）（本小题满分13分）
盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字?1,0，1,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；
（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；
（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为?，?，试求随机变量X=???的分布列与数学期望EX． （17）（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAC?平面ABCD，且PA?， ACPA?AD?2．四边形ABCD满足BC?AD，AB?AD，AB?BC?1．点E,F分别为
侧棱PB,PC上的点，且
PEPB?PFPC?? ．
P （Ⅰ）求证：EF?平面PAD； （Ⅱ）当??12时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；
E F （Ⅲ）是否存在实数?，使得平面AFD?平面PCD？若存在， 试求出?的值；若不存在，请说明理由． （18）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x?(a?2)x?alnx?2a?2，其中a?2． （Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
2A B C
D
（Ⅱ）若函数f(x)在?0,2?上有且只有一个零点，求实数a的取值范围.
（19）（本小题满分14分）
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已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点(1,32),离心率为32，点A为其右顶点.
过点B(1，0)作直线l与椭圆C相交于E,F两点，直线AE，AF与直线x?3分别交于点M，
N.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
?????????（Ⅱ）求EM?FN的取值范围.
（20）（本小题满分13分）
设??(x1,x2,?,x10)是数1,2,3,4,5,6,的7任意一个全排列，定义
10S(?)??|2xk?1k?3xk?1|，其中x11?x1.
（Ⅰ）若??(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)，求S(?)的值； （Ⅱ）求S(?)的最大值；
（Ⅲ）求使S(?)达到最大值的所有排列?的个数.
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学学科测试答案（理工类）
2013.4
一、选择题： 题号 答案 （1） A （2） D （10） 24（3） A （4） C （11） 20 （5） C （12） 1,2 （6） D （7） A （8） B （14） [?5,5] 二、填空题： 题号 （9） 答案 2，10 （13） (25,23) （注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）f(x)?3232sin?x?1?cos?x212?12
?sin?x?cos?x
?sin(?x??6). ????????????????4分
因为f(x)最小正周期为?，所以??2. ????????????6分 所以f(x)?sin(2x?由2k???2?2x??6?6).
?2?2k??，k?Z，得k???3,k???6?3?x?k???6.
所以函数f(x)的单调递增区间为[k??（Ⅱ）因为x?[0,所以?12?2]，所以2x??6?2?6?[]，k?Z. ??????8分
?7?,]， ?????????????10分 66?sin(2x?)?1. ???????????????12分 ]上的取值范围是[?12,1]. ???????????13分
所以函数f(x)在[0,（16）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 P(A)?24?12．
12 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
．??????????3分
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（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．
由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是
所以P(B)?1?[C4()?()?C422012．
1014112?(12)]?31116．
1116 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为
．?????7分
（Ⅲ）由题意可知，?，?的可能取值为?1,0，1,2，所以随机变量X的可能取值为
?2,?1，，01,2,4．
P(X=?2)? P(X=0)? P(X=2)?24?47???71618； P(X=?1)?24?424?41???1161818； ；
4?424?4； P(X=1)?18； P(X=4)?．
4?4所以随机变量X的分布列为
X P ?2 18?1 180 716181 2 184 116? 7 1818 116 14所以E(X)=?2?18?1?18?0?16?1??2??4?．????????13分
（17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，
PEPB?PFPC??，
所以 EF?BC．
因为BC?AD，所以EF?AD． 而EF?平面PAD，AD?平面PAD，
所以EF?平面PAD． ????????????????????4分 （Ⅱ）因为平面ABCD?平面PAC，
平面ABCD?平面PAC?AC，且PA?AC， 所以PA?平面ABCD. 所以PA?AB，PA?AD． 又因为AB?AD，
所以PA,AB,AD两两垂直． ????????????????????5分
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