如图所示，建立空间直角坐标系， 因为AB?BC?1，PA?AD?2， 所以A?0,0,0?,B?1,0,0?,
C?1,1,0?,D?0,2,0?,P?0,0,2?．
zP 当??12时，F为PC中点，
E F 所以F(,1122,1),
A C D yB ????????11所以BF?(?,,1),CD?(?1,1,0)． x 22设异面直线BF与CD所成的角为?，
|(?11,,1)?(?1,1,0)|2214?14?1?2????????所以cos??|cos?BF,CD?|??33，
所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为33．?????????????9分
????????（Ⅲ）设F(x0,y0,z0)，则PF?(x0,y0,z0?2),PC?(1,1,?2)． ???????? 由已知PF??PC，所以(x0,y0,z0?2)??(1,1,?2)，
?x0??,????? 所以?y0??, 所以AF?(?,?,2?2?)．
??z0?2?2?.????设平面AFD的一个法向量为n1?(x1,y1,z1)，因为AD??0,2,0?, ???????x1??y1?(2?2?)z1?0,?n1?AF?0,所以? 即? ????2y1?0.???n1?AD?0. 令z1??，得n1?(2??2,0,?)．
设平面PCD的一个法向量为n2?????????(x2,y2,z2)，因为PD??0,2,?2?,CD???1,1,0?,
??????2y2?2z2?0,?n2?PD?0,所以? 即? ??????x2?y2?0. ??n2?CD?0.
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令x2?1，则n2?(1,1,1)．
若平面AFD?平面PCD，则n1?n2?0，所以(2??2)???0，解得??所以当??2323．
时，平面AFD?平面PCD．????????????????14分
（18）（本小题满分1 3分）
解：函数定义域为?xx?0?， 且f?(x)?2x?(a?2)?①当a?0，即
a2ax?(2x?a)(x?1)x.????2分
?0时，令f?(x)?0，得0?x?1，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，
令f?(x)?0，得x?1，函数f(x)的单调递增区间为(1,??). ②当0?a2?1，即0?a?2时，令f?(x)?0，得0?x?aa2或x?1，
函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,??).
2令f?(x)?0，得③当
a2a2?x?1，函数f(x)的单调递减区间为(a2,1).
?1，即a?2时，f?(x)?0恒成立，函数f(x)的单调递增区间为(0,??). ?7分
(Ⅱ)①当a?0时，由(Ⅰ)可知，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，f(x)在(1,2]单调递增. 所以f(x)在?0,2?上的最小值为f(1)?a?1， 由于f(1e2)?1e4?2e2?ae2?2?(1e2?1)?2ae2?1?0，
要使f(x)在?0,2?上有且只有一个零点，
?f(1)?0,?f(2)?0,2ln2需满足f(1)?0或?解得a??1或a??.
②当0?a?2时，由(Ⅰ)可知，
（ⅰ）当a?2时，函数f(x)在(0,2]上单调递增； 且f(e)?点.
（ⅱ）当0?a?2时，函数f(x)在(又因为f(1)?a?1?0，所以当x?(?2a?2a?41e8?4e4?2?0,f(2)?2?2ln2?0，所以f(x)在?0,2?上有且只有一个零
a2a2,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增； ,2]时，总有f(x)?0.
因为e
?1?a?2，
- 12 -
所以f(e?2a?2a?2a?2a?2a?2a?2a?2a)?e[e?(a?2)]?(alne?2a?2)?0.
所以在区间(0,)内必有零点.又因为f(x)在(0,)内单调递增，
22aa从而当0?a?2时，f(x)在?0,2?上有且只有一个零点. 综上所述，0?a?2或a??2ln2或a??1时，f(x)在?0,2?上有且只有一个零
点. ??????????????????????????????????13分 （19）（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设椭圆的方程为
xa22?yb22?1?a?b?0?，
?222?a?b?c,?3?c22?,解得a?4，b?1. 依题意得?2?a3?1??12?24b?ax2所以椭圆C的方程为
4?y2?1. ??????????????????4分
（Ⅱ）显然点A(2,0).
3232（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得E(1,),F(1,?)，
M(3,?32),N(3,32?????????)，所以EM?FN?1. ????????????????6分
（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y?k(x?1)，显然k?0时，不符合题意. 由??2y?k(x?1),2?x?4y?4?0得(4k?1)x?8kx?4k?4?0.
2222设E(x1,y1),F(x2,y2),则x1?x2?8k4k22?1y1,x1x2?4k4k22?4?1.
直线AE，AF的方程分别为：y?x1?2(x?2),y?y2x2?2(x?2)，
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令x?3，则M(3,y1x1?2),N(3,y2x2?2).
?????????y1(3?x1)y(3?x2))，FN?(3?x2,2). ????????10分 所以EM?(3?x1,x2?2x1?2?????????y(3?x1)y2(3?x2)?所以EM?FN?(3?x1)(3?x2)?1
x1?2x2?2y1y2(x1?2)(x2?2)?(3?x1)(3?x2)(1?)
?(3?x1)(3?x2)(1?k?2(x1?1)(x2?1)(x1?2)(x2?2))
?[x1x2?3(x1?x2)?9]?[1?k?2x1x2?(x1?x2)?1x1x2?2(x1?x2)?4]
4k?(4k4k2222?4?1?4?1?3?8k4k22?1?9)?(1?k?24k4k4k22?8k4k22?122?1) ?4?4?1?2?8k4k?1?(16k4k22?5?1?5?4)?(1??3k4k122)
?16k16k22?1?16k2?4. ?????????????????12分
因为k?0，所以16k?4?4，所以1?2216k16k22?????????5?，即EM?FN?(1,). ?444?55?????????5 综上所述，EM?FN的取值范围是[1,). ??????????????14分
4（20）（本小题满分13分）
10解：（Ⅰ）S(?)??|2xk?1k?3xk?1|?7?6?5?4?3?2?1?0?1?28?57. ??3分
（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：
20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3
其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203?72?131，所以S(?)?131.
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对于排列?0?(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)，此时S(?0)?131，
所以S(?)的最大值为131. ???????????????????????8分 （Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大
的数，所以使S(?)取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面.设x1?1，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○
其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x1?1时，使S(?)达到最大值的所有排列?的个数为6?24?4?5?2880，由轮换性知，使S(?)达到最大值的所有排列?的个数为28800. ???????????13分
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