考点：平 行四边形的性质；全等三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线． 分析：（ 1）由四边形ABCD是平行四边形，可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM，又由M、N分别是AD，BC的中点，即可利用SAS证得△ABN≌△CDM； （2）易求得∠MND=∠CND=∠2=30°，然后由含30°的直角三角形的性质求解即可求得答案． 解答：（ 1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠CDM， ∵M、N分别是AD，BC的中点， ∴BN=DM， ∵在△ABN和△CDM中， ， ∴△ABN≌△CDM（SAS）； （2）解：∵M是AD的中点，∠AND=90°， ∴MN=MD=AD， ∴∠1=∠MND， ∵AD∥BC， ∴∠1=∠CND， ∵∠1=∠2， ∴∠MND=∠CND=∠2， ∴PN=PC， ∵CE⊥MN， ∴∠CEN=90°， ∴∠2=∠PNE=30°， ∵PE=1， ∴PN=2PE=2， ∴CE=PC+PE=3， ∴CN==2， ∵∠MNC=60°，CN=MN=MD， ∴△CNM是等边三角形， ∵△ABN≌△CDM， ∴AN=CM=2．
点评：此 题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等性质．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
六、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 25．（10分）（2013?长沙）设a、b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a≤x≤b的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a，b]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当m≤x≤n时，有m≤y≤n，我们就称此函数是闭区间[m，n]上的“闭函数”． （1）反比例函数y=
是闭区间[1，2013]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式； （3）若二次函数y=x﹣x﹣是闭区间[a，b]上的“闭函数”，求实数a，b的值． 考点：二 次函数综合题；一次函数的性质；反比例函数的性质． 分析： （1）根据反比例函数y=的单调区间进行判断； （2）根据新定义运算法则列出关于系数k、b的方程组解该方程组即可求得系数k、b的值； （3）y=x﹣x﹣=（x﹣2）﹣值是﹣222
或，通过，所以该二次函数的图象开口方向向上，最小，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大；根据新定义运算法则列出关于系数a、b的方程组或，通过解方程组即可求得a、b的值． 解答： 解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”．理由如下：
反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小， 当x=1时，y=2013； 当x=2013时，y=1， 所以，当1≤x≤2013时，有1≤y≤2013，符合闭函数的定义，故 反比例函数y=是闭区间[1，2013]上的“闭函数”； （2）分两种情况：k＞0或k＜0． ①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知， ， 解得． ∴此函数的解析式是y=x； ②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知， ， 解得． ∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n； （3）∵y=x﹣x﹣=（x﹣2）﹣22， ，且当x＜2时，y随x的增大而∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣减小；当x＞2时，y随x的增大而增大； ①当b≤2时，此二次函数y随x的增大而减小，则根据“闭函数”的定义知，， 解得，（不合题意，舍去）或2； =a，根据“闭函数”②当a＜2＜b时，此时二次函数y=x﹣x﹣的最小值是﹣的定义知，b=a﹣a﹣、b=b﹣b﹣； a）当b=a﹣a﹣时，由于b=（﹣舍去； 222）﹣×（﹣2）﹣=＜2，不合题意，
b）当b=b﹣b﹣时，解得b=由于b＞2， 所以b=； 2， ③当a≥0时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，， 解得，， ∵∴舍去． ＜0， 综上所述，或． 点评：本 题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用． 26．（10分）（2013?长沙）如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2． （1）求∠OAB的度数；
（2）求证：△AOF∽△BEO；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S1+S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．
考点：一 次函数综合题 分析：（ 1）当x=0或y=0时分别可以求出y的值和x的值就可以求出OA与OB的值，从而就可以得出结论； （2）根据平行线的性质可以得出，，就可以得出．再由∠OAF=∠EBO=45°就可以得出结论； （3）先根据E、F的坐标表示出相应的线段，根据勾股定理求出线段AE、EF、BF组成的三角形为直角三角形，且EF为斜边，则可以表示此三角形的外接圆的面积S1，再由梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以表示出S2，就可以表示出和的解析式，再由如此函数的性质就可以求出最值． 解答：解 ：（1）∵直线y=﹣x+2，∴当x=0时，y=2，B（0，2）， 当y=0时，x=2，A（2，0）∴OA=OB=2． ∵∠AOB=90° ∴∠OAB=45°； （2）∵四边形OAPN是矩形， ∴PM∥ON，NP∥OM， ∴，， ∴BE=OM，AF=ON， ∴BE?AF=OM?ON=2OM?ON． ∵矩形PMON的面积为2， ∴OM?ON=2 ∴BE?AF=4． ∵OA=OB=2， ∴OA?OB=4， ∴BE?AF=OA?OB， 即． ∵∠OAF=∠EBO=45°， ∴△AOF∽△BEO；