第二章
2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。
解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X?(X1,X2,?Xp)?的联合分布密度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X?(X1,X2,?Xp)?的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p。
2.2设二维随机向量(X1解：设(X1X2)?服从二元正态分布，写出其联合分布。
2???12?1?2??，协方差矩阵为?，则其联2???21?2?X2)?的均值向量为μ???1合分布密度函数为
2?1???1?12?f(x)????2??2????21?2?2?1/2?12?????1?12?1?exp??(x?μ)??(x?μ)?。 2?2???212?????
2.3已知随机向量(X1X2)?的联合密度函数为
f(x1,x2)?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]
(b?a)2(d?c)2其中a?x1?b，c?x2?d。求
（1）随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差； （2）随机变量X1和X2的协方差和相关系数； （3）判断X1和X2是否相互独立。
（1）解：随机变量X1和X2的边缘密度函数、均值和方差；
fx1(x1)??dc2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx 22(b?a)(d?c)d2(d?c)(x1?a)x2 ?(b?a)2(d?c)22(d?c)(x1?a)x2?(b?a)2(d?c)2?2(d?c)(x1?a)x2(b?a)2(d?c)2cd??dc2[(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]dx2 22(b?a)(d?c)2[(b?a)t?2(x1?a)t]dt
(b?a)2(d?c)222d?ccd???d?c0c[(b?a)t?2(x1?a)t](b?a)2(d?c)20?1 b?a所以
b?a?b?a?由于X1服从均匀分布，则均值为，方差为。
212?1?同理，由于X2服从均匀分布fx2(x2)??d?c??0x1??c,d?其它，则均值为
2d?c，2?d?c?方差为
122。
（2）解：随机变量X1和X2的协方差和相关系数；
cov(x1,x2)??
db
ca?b??d?c?2[(d?c)(x1?a)?(b?a)(x2?c)?2(x1?a)(x2?c)]?x?x?dx1dx21??2?22?a?2??2?(b?a)(d?c)??(c?d)(b?a)
36??
cov(x1,x2)?x?x121? 3（3）解：判断X1和X2是否相互独立。
X1和X2由于f(x1,x2)?fx1(x1)fx2(x2)，所以不独立。
2.4设X?(X1,X2,?Xp)?服从正态分布，已知其协方差矩阵?为对角阵，证明其分量是相
互独立的随机变量。
解： 因为X?(X1,X2,?Xp)?的密度函数为
?1??1/2?1??1?f(x1,...,xp)??Σexp?(x?μ)Σ(x?μ)?? ??2??2????12???2?2? 又由于Σ???????2???p??22 Σ??12?2??pp?1??2?1??Σ?1???????12?2?????? ???1?2??p?则f(x1,...,xp)
??1???2??1??p?1?1??222?1/2?1???Σ?????exp?(x?μ)Σ??12p???2???2?????????
12?2??????????(x?μ)???????1??2???p??p222??11(xp??p)??1??1(x1??1)1(x2??3)???????exp???...??? p???122222?22?p?2???2?1????(xi??i)2?1??exp????f(x1)...f(xp) 22?i?1?i2?i??p则其分量是相互独立。
2.5由于多元正态分布的数学期望向量和均方差矩阵的极大似然分别为
??X??Xin μi?1nn???(X?X)(X?X)?n Σiii?1?35650.00???12.33???X??μ?17325.00? ??152.50?????201588000.0038900.0083722500.00?38900.0013.06716710.00??Σ??83722500.0016710.0036573750.00??-736800.00-35.800-199875.00?-736800.00??-35.80?
-199875.00??16695.10??0??111???
I?)X注：利用 Xp?1?X?1n, S?X?(In?1n1? 其中 nn??nn?1??0?在SPSS中求样本均值向量的操作步骤如下：
1. 选择菜单项Analyze→Descriptive Statistics→Descriptives，打开Descriptives对话框。
将待估计的四个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.1。
图2.1 Descriptives对话框
2.
单击Options按钮，打开Options子对话框。在对话
框中选择Mean复选框，即计算样本均值向量，如图2.2所示。单击Continue按钮返回主对话框。
图2.2 Options子对话框
3. 单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给出样本均值向量，如表2.1，即
样本均值向量为（35.3333，12.3333，17.1667，1.5250E2）。
表2.1 样本均值向量
在SPSS中计算样本协差阵的步骤如下： 1. 选择菜单项Analyze→Correlate→Bivariate，打开
Bivariate Correlations对话框。将三个变量移入右边的Variables列表框中，如图2.3。
2.
图2.3 Bivariate Correlations对话框
单击Options按钮，打开Options子对话框。选择
Cross-product deviations and covariances复选框，即计算样本离差阵和样本协差阵，如图2.4。单击Continue按钮，返回主对话框。