3.
图2.4 Options子对话框
单击OK按钮，执行操作。则在结果输出窗口中给
出相关分析表，见表2.2。表中Covariance给出样本协差阵。（另外，Pearson Correlation为皮尔逊相关系数矩阵，Sum of Squares and Cross-products为样本离差阵。）
2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；
2.7 设总体服从正态分布，X~Np(μ,Σ)，有样本X1,X2,...,Xn。由于X是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X也服从正态分布。又
n?n?nE(X)?E??Xin???E?Xi?n??μn?μ
i?1?i?1?i?11nΣ?n?1nD(X)?D??Xin??2?D?Xi??2?Σ?
ni?1n?i?1?ni?1所以X~Np(μ,Σ)。
1n?2.8 方法1： Σ?(Xi?X)(Xi?X)? ?n?1i?11n ??XiX?i?nXX?
n?1i?1n1?? E(Σ)?E(?XiX?i?nXX) n?1i?11?n??? ? EXX?nEXX?????ii??n?1?i?1?1?nΣ?1 ?Σ?n???n?1(n?1)Σ?Σ。 n?1?n?i?1?方法2：S?n?(X-X)(X-X)?
iii?1iin ?????X-μ?(X?μ)????X-μ?(X?μ)??
i?1n ??(X-μ)(X-μ)??2?(X-μ)(X-μ)??n(X?μ)(Xμ?Xμ)?
iiii?1i?1n ??(X-μ)(X-μ)??2n(X?μ)(X?μ)??n(X?μ)(X?μ)?
iii?1nn ??(X-μ)(X-μ)??n(X?μ)(X?μ)?
iii?1S1?n?E()?E??(Xi-μ)(Xi-μ)??n(X?μ)(X?μ)?? n?1n?1?i?1?1?n ?E(Xi-μ)X(i-μ??)nEX(?μ)(X?μ??n?1?i?1故
???)?Σ。 ?S为Σ的无偏估计。 n?12.9.设X(1),X(2),...,X(n)是从多元正态分布X~Np(μ,Σ)抽出的一个简单随机样本，试求S的分布。
证明： 设
???Γ??????***1n***1n????*??*?*??(?ij)为一正交矩阵，即Γ?Γ?I。 ?1??n?令Ζ=(Ζ1Ζ2?Ζn)=?X1X2?Xn?Γ?，
由于Xi(i?1,2,3,4,?n)独立同正态分布,且Γ为正交矩阵
所以???(?1?2??n)独立同正态分布。且有
1n1nΖn?E(Χi)?nμ，Var(Zn)?Σ。 ?Χi，E(Ζn)?n?ni?1i?1E(Ζa)?E(?rajΧj)j?1nn(a?1,2,3,?,n?1)
?n?rajj?1n1μ n?rnj?0 ?nμ?raji?1Var(Ζa)?Var(?rajΧj)
j?12??rVar?Χj??Σ?raj?Σ
2ajj?1j?1nnn所以Ζ1Ζ2?Ζn?1独立同N(0,Σ)分布。
又因为S?n?(Xi?1nj?X)(Xj?X)?
??XjX?j?nXX?
j?11n1n?????Xi??nXi??ZnZ?因为nXX??n?n??n nni?1i?1????又因为
?XX???Xjjj?1n1X2???X1???X???Xn??2?
????X???n???X1X2?X?1????X?Xn?Γ?Γ?2?
?????X????n??Z?1????Z2???Zn? ?????Z????n?njjnn??Z1Z2所以原式
?XX??ZZ???ZZ??ZZ?
jjnnj?1j?1n??Z2Z????Z1Z12?...?ZnZn-ΖnΖn
故S?????，由于Z,Z,?,Zjjn?1j?112n?1独立同正态分布
Np(0,Σ)，所以
S???j??j~Wp(n?1,?)
j?1n?12.10.设Xi(ni?p)是来自Np(μi,Σi)的简单随机样本，i?1,2,3,?,k，
（1）已知μ1?μ2?...?μk?μ且Σ1?Σ2?...?Σk?Σ，求μ和Σ的估计。 （2）已知Σ1?Σ2?...?Σk?Σ求μ1,μ2,...,,μk和Σ的估计。
1??x?解：（1）μn1?n2?...?nk??xa?1i?1knaai，
??Σ???xa?1i?1knaai?x??xia?x??
n1?n2?...?nk (2) lnL(μ1,?,μk,Σ)
?ln??(2?)Σ??p?n21knaaexp[???(xi-μa)?Σ-1(xia-μa)]
2a?1i?11n1knaalnL(μ,Σ)??pnln(2?)?lnΣ???(xi-μa)?Σ-1(xia-μa)
222a?1i?12?lnL(μ,Σ)n?11kna??Σ???(Xia?μa)(Xia?μa)??Σ?1??0
?Σ22a?1i?1?lnL(μj,Σ)?μj解之，得
??Σ?1(Xij?μj)?0(j?1,2,...,k)
i?1nj1?j?xj?μnj?xi?1njij??，Σ???xj?1i?1knj??xx?x???ijjijj
n1?n2?...?nk第三章
3.1 试述多元统计分析中的各种均值向量和协差阵检验的基本思想和步骤。
其基本思想和步骤均可归纳为：
答： 第一，提出待检验的假设和H1；
第二，给出检验的统计量及其服从的分布；
第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临值，从而得到否定域； 第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）。
均值向量的检验：
统计量 拒绝域
在单一变量中
当?2已知 z?当?2未知 t?2(X??0)?n |z|?z?/2
(X??0)n |t|?t?/2(n?1)
S1n22? （S?作为的估计量） (X?X)?in?1i?1 一个正态总体H0：μ?μ0
2协差阵Σ已知 T02?n(X?μ0)?Σ?1(X?μ0)~?2(p) T02??? 协差阵Σ未知
（T?(n?1)[n(X?μ0)?S 两个正态总体H0：μ1?μ2
2?1(n?1)?p?12n?p2T~F(p,n?p) T?F?
(n?1)p(n?1)pn(X?μ0)]）