第六章 定积分的使用
第一节 定积分的元素法
教学目的：理解和掌握用定积分去解决实际问题的思想方法即定积分的元素法 教学重点：元素法的思想 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：
一、 再论曲边梯形面积计算
设
f(x)在区间[a,b]上连续，且f(x)?0，求以曲线y?f(x)为曲边，底为[a,b]的曲边梯形的面积A。
1．化整为零
用任意一组分点 a将区间分成
?x0?x1???xi?1?xi???xn?b
n个小区间[xi?1,xi]，其长度为
?xi?xi?xi?1(i?1,2,?,n)
并记 ??max{?x1,?x2,?,?xn}
相应地，曲边梯形被划分成
n个窄曲边梯形，第
。
i个窄曲边梯形的面积记为
?Ai,i?1,2,?,n于是 A???A
ii?1n2．以不变高代替变高，以矩形代替曲边梯形，给出“零”的近似值
?Ai?f(?i)?xi??i?[xi?1,xi](i?1,2,?,n) 3．积零为整，给出“整”的近似值 A??f(?)?xii?1ni
4．取极限，使近似值向精确值转化
A?lim??0?f(?)?x??f(x)dx
iii?1anb上述做法蕴含有如下两个实质性的问题：
（1）若将[a,b]分成部分区间[xi?1,xi](i?1,2,?,n)，则
A相应地分成部分量
?Ai(i?1,2,?,n)，而
A???Ai
i?1n这表明：所求量A对于区间[a,b]具有可加性。
(2)用f(?i)?xi近似?Ai，误差应是?xi的高阶无穷小。 只有这样，和式
?f(?)?xii?1ni的极限方才是精确值A。故关键是确定
?Ai?f(?i)?xi(?Ai?f(?i)?xi?o(?xi))
通过对求曲边梯形面积问题的回顾、分析、提炼， 我们可以给出用定积分计算某个量的条件和步骤。 二、元素法
1．能用定积分计算的量U，应满足下列三个条件 (1) U和变量x的变化区间[a,b]有关； (2) U对于区间[a,b]具有可加性；
(3) U部分量?Ui可近似地表示成f(?i)??xi。
2．写出计算U的定积分表达式步骤
(1) 根据问题，选取一个变量x为积分变量，并确定它的变化区间[a,b]； (2) 设想将区间[a,b]分成若干小区间，取其中的任一小区间[x,x求出它所对应的部分量?U的近似值
?dx]，
?U?f(x)dx (
则称
f(x)为[a,b]上一连续函数)
f(x)dx为量U的元素，且记作dU?f(x)dx。
(3) 以U的元素dU作被积表达式，以[a,b]为积分区间，得
bU??f(x)dx
a这个方法叫做元素法，其实质是找出U的元素dU的微分表达式
dU?f(x)dx(a?x?b)
因此，也称此法为微元法。
小结：元素法的提出、思想、步骤（注意微元法的本质） 作业：作业卡
第二节 平面图形的面积
教学目的：学会用元素法计算平面图形的面积 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算 教学难点：面积元素的选取 教学内容：
一、直角坐标的情形
由曲线y?f(x)(f(x)?0) 及直线 x的曲边梯形面积A。
?a和 x?b ( a?b ) 和 x轴所围成
A??f(x)dx 其中：f(x)dx为面积元素。
a由曲线
by?f(x) 和 y?g(x) 及直线 x?a，x?b( a?b )且
f(x)?g(x)所围成的图形面积A。
bbb
A??f(x)dx??g(x)dx??[f(x)?g(x)]dx
aaa其中：[f(x)?g(x)]dx 为面积元素。
例1 计算抛物线y?2x和直线y?x?4所围成的图形面积。 解：1、先画所围的图形简图
2?y2?2x解方程 ?, 得交点：(2,?2) 和 (8,4)。
?y?x?4
2. 选择积分变量并定区间 选取x为积分变量，则0?3. 给出面积元素
在0?x?2上，
x?8
dA?[2x?(?2x)]dx?22xdx
在2?x?8上，
dA?[2x?(x?4)]dx?(4?2x?x)dx
4. 列定积分表达式
28A???202xdx?2x3220?[4?22x?x]dx8433?22212? ??4x?x?x?32??2?18另解：若选取
y为积分变量，则 ?2?y?4
12y]dy 212y)dy24dA?[(y?4)?4A??2?(y?4?y2y3??4y?26?18
?2显然，解法二较简洁，这表明积分变量的选取有个合理性的问题。
x2y2例2 求椭圆2?2?1所围成的面积 (a?0,b?0)。
ab解：据椭圆图形的对称性，整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍。
x2取x为积分变量，则 0?x?a， y?b1?2
ax2dA?ydx?b1?2dx
ax2故 A?4?ydx?4?b1?2dx
a00作变量替换 x?acost (0?t?aa ( * )
?2)
x2则 y?b1?2?bsint， dx??asintdt
a