二、参数方程的情形
若曲线由参数方程
?x??(t)??y??(t)(??t??)
给出，计算它的弧长时，只需要将弧微分写成
ds?(dx)2?(dy)2?的形式，从而有
????(t)?2????(t)?2dt
s??????(t)?2????(t)?2dt
例2 计算半径为r的圆周长度。 解： 圆的参数方程为 ??x?rcost?y?rsint(0?t?2?)
ds?(?rsint)2?(rcost)2dt?rdt
2?s??rdt?2?r
0三、极坐标情形
若曲线由极坐标方程
r?r(?)(?????)
给出，要导出它的弧长计算公式，只需要将极坐标方程化成参数方程，再利用参数方程下的弧长计算公式即可。
曲线的参数方程为
?x?r(?)cos?(?????) ??y?r(?)sin?此时?变成了参数，且弧长元素为
ds?(dx)2?(dy)2?(r?cos??rsin?)2(d?)2?(r?sin??rcos?)2(d?)2 ?r2?r?2d?从而有
?s??r2?r?2d?
?例3 计算心脏线r?a(1?cos?)(0???2?)的弧长。
解：ds? ?a2(1?cos?)2?(?asin?)2d?
4a2[cos4?2?sin2?2cos2?2]d?
?2acos?d?
2s??2acos02??2d??4a?cos?d?0???4a[?cos?d????cos?d?]02??
2?8a小结: 平面曲线弧长的概念
弧微分的概念
求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程 极坐标系下
作业: 作业卡 P70
第五节 功、水压力和引力
教学目的：理解和掌握用定积分的元素法，解决物理上的实际问题 功，水压力和引力
教学重点：如何将物理问题抽象成数学问题 教学难点：元素法的正确运用 教学内容：
一、变力沿直线所作的功
例1 半径为r的球沉入水中，球的上部和水面相切，球的比重为 1 ，现将这球从水中取出，需作多少功?
解：建立如图所示的坐标系
将高为r的球缺取出水面，所需的力F(x)为：F(x)?G?F浮
4?r3?1?g是球的重力，F浮表示将球缺取出之后，仍浸在水中的另一部分球缺其中：G?3所受的浮力。
由球缺公式 V???x(r?) 有
2x3x??4F浮????r3???x2(r?)??1?g
3??3从而 F(x)???x(r?)g(x?[0,2r])
十分明显，F(x)表示取出水面的球缺的重力。即：仅有重力作功，而浮力并未作功，且这是一个变力。从水中将球取出所作的功等于变力F(x)从0改变至2r时所作的功。 取x为积分变量，则x?[0,2r]，对于[0,2r]上的任一小区间[x,x?dx]，变力F(x)从0到
2x3x?dx这段距离内所作的功。
xdW?F(x)dx???x2(r?)g
3这就是功元素，并且功为
x??4??rW???gx2(r?)dx?g?x3?x4????r4g
312?03?30另解： 建立如图所示的坐标系
2r2r
取x为积分变量， 则 x?[0,2r]。在 [0,2r] 上任取一个小区间[x,x?dx]，则此小区间
对应于球体上的一块小薄片，此薄片的体积为
?(r2?(r?x)2)2dx
由于球的比重为 1 ， 故此薄片质量约为
dm??[r2?(r?x)2]dx?1
将此薄片取出水面所作的功应等于克服薄片重力所作的功，而将此薄片取出水面需移动距离为 x。
故功元素为
dW?dm?g?x??g[r2?(r?x)2]xdx
2r222rW???g[r?(r?x)]xdx??g?(2rx2?x3)dx001?4?2??g?rx3?x4???r4g4?03?3二、水压力
在水深为h处的压强为p???h，这里?是水的比重。
如果有一面积为A的平板水平地放置在水深h处，那未，平板一侧所受的水压力为
2r
P?p?A???h?A
若平板非水平地放置在水中，那么由于水深不同之处的压强不相等。此时，平板一侧
所受的水压力就必须使用定积分来计算。
例2边长为a和b的矩形薄板，和水面成?角斜沉于水中，长边平行于水面而位于水深h处。设a?b，水的比重为?，试求薄板所受的水压力P。
解：由于薄板和水面成?角斜放置于水中，则它位于水中最深的位置是
h?bsin? 取x为积分变量， 则 x?[h,h?b?sin?] (注意： x表示水深)
在[h,h?b?sin?]中任取一小区间[x,x?dx]，和此小区间相对应的薄板上一个小窄条形的面积是
a?它所承受的水压力约为
dx sin?dx sin???x?a于是，压力元素为
dP?h?bsin?a???xdx sin?P???ha?xdxsin?a?(h?bsin?)2?h2 2sin?a??(2bhsin??b2sin2?)2sin?1?abh??ab(bsin?)?2??这一结果的实际意义十分明显，abh?正好是薄板水平放置在深度为h的水中时所受到的压力，而
1ab(bsin?)?是将薄板斜放置所产生的压力，它相当于将薄板水平放置在深度为21bsin?处所受的水压力。 2三、引力
由物理学知道：质量为m1、m2，相距为r的两质点间的引力大小为
F?km1m2 r2k为引力系数。引力的方向沿着两质点的连线方向。
如果要计算一根细棒对一个质点的引力，由于细棒上各点和该质点的距离是变化的，且各点对该质点的引力方向也是变化的，便不能简单地用上述公式来作计算了。
例3 设有一半径为R， 中心角为?的圆弧形细棒， 其线密度为常数?， 在圆心处有一质量为m的质点M， 试求这细棒对质点M的引力。
解决这类问题，一般来说，应选择一个适当的坐标系。
解：建立如图所示的坐标系，质点
M位于坐标原点，该圆弧的参方程为
(??x?Rcos???y?Rsin?????) 22?在圆弧细棒上截取一小段，其长度为ds，它的质量为?ds，到原点的距离为R，其夹角为
?，它对质点M的引力?F的大小约为
?F?k?m?ds 2R?F在水平方向(即x轴)上的分力?Fx的近似值为
?Fx?k?而 ds?(dx)?(dy)?Rd?
于是，我们得到了细棒对质点的引力在水平方向的分力Fx的元素，
22m?dscos? R2dFx?故
?km?cos?d? R?Fx?类似地
?dFx??2?2?km?2km?? cos?d??sin??RR222??Fy??dFy??2?2?km???Rsin?d??0
22因此，引力的大小为
2km??sin，而方向指向圆弧的中心。 R2小结 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题