0A?4?(bsint)(?asint)dt
?2 ( * * )
??4ab?sin2tdt?4ab?02(2?1)!!????ab 2!!2二、极坐标情形
设平面图形是由曲线 r??(?)及射线???，???所围成的曲边扇形。
取极角?为积分变量，则 ?????,在平面图形中任意截取一典型的面积元素?A，它是极角变化区间为[?,??d?]的窄曲边扇形。
?A的面积可近似地用半径为r??(?)， 中心角为d?的窄圆边扇形的面积来代替，
即
1?A?[?(?)]2d?
212从而得到了曲边梯形的面积元素 dA?[?(?)]d?
2从而
1A???2(?)d?
?2例3 计算心脏线r??a(1?cos?)(a?0)所围成的图形面积。
解： 由于心脏线关于极轴对称，
1???A?2?a2(1?cos?)2d??a2??2cos2?d?22?00?????2?4a2?cos04?2d?令2?t8a?2?costdt024
(4?1)!!?32??a?4!!22小结: 求在直角坐标系下、极坐标系下平面图形的面积. 作业: 作业卡 P67~P68
?8a2第三节 体积
教学目的：掌握用定积分的元素法计算体积 教学重点：体积的计算 教学难点：体积元素的选取 教学内容：
一、旋转体的体积
旋转体是由一个平面图形绕该平面内一条定直线旋转一周而生成的立体，该定直线称为旋转轴。
计算由曲线
y?f(x)直线x?a，x?b及x轴所围成的曲边梯形，绕x轴旋转
一周而生成的立体的体积。
取x为积分变量，则x?[a,b]，对于区间[a,b]上的任一区间[x,x?dx]，它所对应的窄曲边梯形绕x轴旋转而生成的薄片似的立体的体积近似等于以f(x)为底半径，dx为高的圆柱体体积。即：体积元素为
dV???f(x)?dx
2所求的旋转体的体积为
V????f(x)?dx
2ab例1 求由曲线y?r?x及直线x?0，x?h(h?0)和x轴所围成的三角形绕x轴旋转而h生成的立体的体积。
解：取x为积分变量，则x?[0,h]
??r2?r?V????x?dx?2hh??0h2h2x?dx?0?3r2h
二、平行截面面积为已知的立体的体积( 截面法 )
由旋转体体积的计算过程可以发现：如果知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面
积，那么这个立体的体积也可以用定积分来计算。
取定轴为x轴， 且设该立体在过点x?a，x?b且垂直于x轴的两个平面之内， 以
A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积。
取x为积分变量，它的变化区间为[a,b]。立体中相应于[a,b]上任一小区间[x,x?dx]的一薄片的体积近似于底面积为A(x)，高为dx的扁圆柱体的体积。 即：体积元素为 dV?A(x)dx
b于是，该立体的体积为 V??A(x)dx
ax2y2例2 计算椭圆2?2?1 所围成的图形绕x轴旋转而成的立体体积。
ab解：这个旋转体可看作是由上半个椭圆y?生成的立体。
ba2?x2及x轴所围成的图形绕x轴旋转所a
在x处(?a?x?a)，用垂直于x轴的平面去截立体所得截面积为
A(x)???(ab2a?x2)2 aV??a?A(x)dx??b24222 (a?x)dx??ab2?a?a3a例3 计算摆线的一拱
?x?a(t?sint)(0?t?2?) ??y?a(1?cost)以及y?0所围成的平面图形绕y轴旋转而生成的立体的体积。
2a2a22解：V?2??x(y)dy???x(y)dy 1??00?????a2(t?sint)2?asintdt???a2(t?sint)2asintdt
2?02????a22(t?sint)sintdt ?0?6?3a3
2?请自行计算定积分 (t?sint)sintdt
0?2小结: 旋转体体积
平行截面已知的立体的体积 作业: 作业卡 P69
第四节 平面曲线的弧长
教学目的：掌握用定积分元素法计算平面曲线的弧长， 教学重点：平面曲线弧长的计算 教学难点：弧长元素的选取 教学内容：
一、直角坐标情形
设函数f(x)在区间[a,b]上具有一阶连续的导数，计算曲线y?f(x)的长度s。
取x为积分变量，则x?[a,b],在[a,b]上任取一小区间[x,x?dx]，那么这一小区间所对应的曲线弧段的长度?s可以用它的弧微分ds来近似。于是，弧长元素为
ds?1??f?(x)?dx
2弧长为
s??1??f?(x)?dx
2ab2例1 计算曲线y?x2(a?x?b)的弧长。
3解：ds?1?(x)dx?1?xdx
b32s??a21?xdx?(1?x)33b2a3322?[(1?b)?(1?a)2] 3