书本类别 进价（单位：元） 备注 A类 18 B类 12 1、用不超过16800元购进A、B两类图书共1000本； 2、A类图书不少于600本； … （1）陈经理查看计划数时发现：A类图书的标价是B类图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买的图书，能单独购买A类图书的数量恰好比单独购买B类图书的数量少10本，请求出A、B两类图书的标价；
（2）经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A类图书每本标价降低a元（0＜a＜5）销售，B类图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？
【解答】解：（1）设B类图书的标价为x元，则A类图书的标价为1.5x元， 根据题意可得
﹣10=
，
化简得：540﹣10x=360， 解得：x=18，
经检验：x=18是原分式方程的解，且符合题意， 则A类图书的标价为：1.5x=1.5×18=27（元），
答：A类图书的标价为27元，B类图书的标价为18元；
（2）设购进A类图书t本，总利润为w元，A类图书的标价为（27﹣a）元（0＜a＜5）， 由题意得，
解得：600≤t≤800，
则总利润w=（27﹣a﹣18）t+（18﹣12）（1000﹣t） =（9﹣a）t+6（1000﹣t） =6000+（3﹣a）t，
故当0＜a＜3时，3﹣a＞0，t=800时，总利润最大，且大于6000元； 当a=3时，3﹣a=0，无论t值如何变化，总利润均为6000元； 当3＜a＜5时，3﹣a＜0，t=600时，总利润最大，且小于6000元；
答：当A类图书每本降价少于3元时，A类图书购进800本，B类图书购进200
，
本时，利润最大；当A类图书每本降价大于等于3元，小于5元时，A类图书购进600本，B类图书购进400本时，利润最大．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠C=90°，D、F是AB边上的两点，以DF为直径的⊙O与BC相交于点E，连接EF，过F作FG⊥BC于点G，其中∠OFE=∠A． （1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若sinB=，⊙O的半径为r，求△EHG的面积（用含r的代数式表示）．
【解答】（1）证明：连接OE， ∵在△ABC中，∠C=90°，FG⊥BC， ∴∠BGF=∠C=90°， ∴FG∥AC， ∴∠OFG=∠A， ∴∠OFE=∠OFG， ∴∠OFE=∠EFG， ∵OE=OF， ∴∠OFE=∠OEF， ∴∠OEF=∠EFG， ∴OE∥FG， ∴OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵在Rt△OBE中，sinB=，⊙O的半径为r， ∴OB=r，BE=r， ∴BF=OB+OF=r，
∴FG=BF?sinB=r， ∴BG=
=
r，
∴EG=BG﹣BE=r， ∴S△FGE=EG?FG=∵BC是切线， ∴∠GEH=∠EFG， ∵∠EGH=∠FGE， ∴△EGH∽△FGE， ∴
=（
）2=，
r2．
r2，EG：FG=1：2，
∴S△EHG=S△FGE=
25．（8分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．
（1）求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；
（2）点P是线段BD上一点，当PE=PC时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴解得，
， ，
∴经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3； （2）如图1，连接PC、PE， x=﹣
=﹣
=1，
当x=1时，y=4，
∴点D的坐标为（1，4）， 设直线BD的解析式为：y=mx+n， 则解得，
， ，
∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6， 设点P的坐标为（x，﹣2x+6），
则PC2=x2+（3+2x﹣6）2，PE2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， ∵PC=PE，
∴x2+（3+2x﹣6）2=（x﹣1）2+（﹣2x+6）2， 解得，x=2， 则y=﹣2×2+6=2， ∴点P的坐标为（2，2）；
（3）设点M的坐标为（a，0），则点G的坐标为（a，﹣a2+2a+3）， ∵以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形， ∴FM=MG，即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|， 当2﹣a=﹣a2+2a+3时，
整理得，a2﹣3a﹣1=0， 解得，a=
，
当2﹣a=﹣（﹣a2+2a+3）时， 整理得，a2﹣a﹣5=0， 解得，a=
，
∴当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，点M的坐标为（（
，0），（
，0），（
，0）．
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