y?0，x2?y2?4时，证明x?y?22。在解析几何中，求证圆x2?y2?4的第一象
限的部分曲线与直线系x?y?b相交，截距最大为22。
图12
如12所示，在第一象限，当直线x?y?b与椭圆x2?y2?4相切时，截距最大，求解得到b?22。综上所述即证得2a?1?2b?1?22。
3.8数形结合思想在概率中的运用
在概率中，古典概型和几何概型是高考的重点，其中在几何概型的求解过程中我们可以采用数形结合的方法，利用图形的几何度量来计算概率。
?0?x?2例11： 设不等式组?表示的平面区域为D。在区域D内随机取一个点，则
0?y?2?此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）。
???2?4?? B. C. D. 4264答案：D
A.
图13
14
?0?x?2分析：如图13所示，不等式组?表示的是正方形OABC区域。到原点的距离
?0?y?2大于2的点为空白区域M,求概率转化为求空白的面积占正方形面积的比例。易求得扇形OAC的面积为?，故所求P?S空白4???。 SOABC43.9数形结合思想在复数中的运用
为了使负数开平方有意义，进一步扩充数系，引入了复数。为了更好地研究复数，引入复平面，这样就在“数”与“点”之间建立了联系，同时使得辐角与倾斜角，模与距离建立联系。研究复数时，可以借助与几何直观，采用几何术语，为研究复数提供了方便。
1，求z?1得取值范围。 211分析：已知z?表示复平面上以原点为圆心，以为半径的圆上的点及其内部的点，
221z?1表示复平面内点z到点-1的距离。如图14所示，点z到点-1的距离最小为，
2313最大为，所以?z?1?。
222例12 已知z?C，且z?图14
第4章 运用数形结合解题常见的误区
在使用数形结合思想解决数学问题时，一定要等价转换，也就是说，有什么样的代数关系就要作什么样的图形，反之也是一样。我们做出的图形要能够正确的表示出变量之间的运算关系，代数关系要精确地表示几何图形的性质。我们在解题过程中要坚持代数和图形互相补充的原则，通盘思考，尽量寻找最简洁的解题思路。要尽量避
15
免以下两个错误。
4.1作图不准确
例13： 方程x2?2x的解的个数为（ ）。 A.0 B.1 C.2 D.3
错解：在同一坐标系内画出函数y?x2和函数y?2x的图像草图，如图15所示，他们有两个交点，故选C。
图15
正解：在画图时，我们只注意了函数图像的大致走向，而没有精确作图，从而导致错误。事实上，如图16所示，当x?0时，两个函数图像有一个交点；当x?0时，由于两个函数的增长速度不同，使得两个图像有两个交点。故选D。
16
图16
因此，我们再借助图形解题，作图时一定要注意以下几点：图像是不是画全；图像的关键点；图像的对称性，凹凸性，奇偶性；图像的增长速度。
4.2图形问题转化为代数问题时不对应
再利用代数关系解决图形问题时，一定要使代数关系和图形的几何意义对应，否则，我们得到的代数式就是错误的。
x2y2例14： 已知椭圆2?2?1?a?b?0?，从中心作两条互相垂直的弦AC，BD。
ab顺次连接A，B，C，D得一四边形，记其面积为S，求S的最小值。
图17
错解：先画出图形，如图17所示，由对称性可知，四边形为菱形，根据椭圆的参数
?,bsin??，其中0???方程设点A的坐标为A?acos????????D?acos??,bsin????????2?2??????，
化
简
为
?2，由于AC?BD，可得点
那
么
D??as?i,bnc?o?s，
S?4S?AOD?2OA?OD，
而2OA?OD?2a2cos2??b2sin2??a2sin2??b2cos2?
?2?a4cos2?sin2??a2b2cos4??a2b2sin4??b4sin2?cos2? ?2?a4?b4?cos2?sin2??a2b2?1?2sin2?cos2??
21 ?2?a2?b2??sin22??a2b2
4 ?2a2b2?2ab
17
当sin2??0时，等号成立，故S有最小值2ab。
分析：在椭圆中，用参数方程表示椭圆时，离心角特别容易与倾斜角相混淆，本题就是混淆了点A的离心角和OA的倾斜角，导致问题错解。
正解：设OA?r1，OD?r2，OA的倾斜角为?，所以点A坐标为A?r1cos?,r1sin??，
??????????，分别代入点D的坐标为D?，即D??r2sin?,r2cosrcos??,rsin???????2?2?2?2?????11112x2y222a2b2?2?1并联立化简得：2?2?2?2?，即r1r2?。?22211ababr1r2r1r2a?b?a2b24a2b2S?2OA?OD?2r1r2?2，当且仅当r1?r2时等号成立，即点A在直线y?x上时Sa?b24a2b2有最小值2。 2a?b第5章 培养学生的数形结合思想
在中学教学中，更侧重对数学基础知识、基本技能和基本思想的掌握。老师在数学教学中，一定要要重视培养学生的数学思想，如数形结合思想、分类讨论思想、转化与划归思想、整体思考等思想，尤其是数形结合思想的运用范围特别广泛，更应该重点传授。中学数学主要研究数学和结合问题，学生在做数学题目的过程中，运用数形结合思想，可以把图形的具体直观和代数的抽象紧密结合在一起，二者可以互相促进。因此，我们要加强数形结合思想的培养。
5.1强化数学概念的传授
数学思想在数学问题的深层，需要我们在解题中发现提取。数形结合的思想大多蕴含在概念的教学中，加强概念教学，在概念教学中，把抽象概念赋予形的直观，尤其是具有几何意义的概念（复数，复数的模，绝对值，导数等），给出概念，结合几何图形讲几何意义更易理解和把握，在概念的形成过程中体会数形结合思想。
5.2让学生牢固掌握最基本的图像
运用数形结合解决问题，首先我们要对基本图像熟悉掌握，尤其是六种基本初等函数的图像及二次函数和绝对值函数，只有掌握函数的图像，我们才能更快的反应出函数的性质。另外，熟练应用图像的各种变换（伸缩、平移、翻转、对称）作图，如
18