高三必过关题1 函数（1）
张家港市塘桥高级中学 罗小兵
一、填空题
例1 函数f(x)?答：[3，+?)
x?2?1log2(x?1)的定义域为 ．
?x?1?0?提示：要使f(x)有意义，则?x?1?1，解得x?3．
?x?2?1?0?
例2 若函数f(x)?(x?1)(x?a)为奇函数，则a= ．
x答：?1
提示：由函数f(x)为奇函数，则f(?1)??f(1)，解得a??1．
3例3 设函数f(x)?xcosx?1，若f(a)?11，则f(?a)? ．
答：?9
提示：利用f(?x)?f(x)?2即可得到答案．
?例4 若 ??{?1,0,,2}，则使函数y?x的定义域为R，且在（－∞，0）上单调递增的?13值为 ． 答：
1 3提示：利用幂函数的图像和性质即可得到答案．
例5 函数f(x)??x?3x?4的定义域为?m,3?，值域为?4,2?25?，则实数m的取值范围?4??是 ． 答：[0,]
提示：配方得f(x)??(x?)?得出m范围．
3232225，再利用二次函数的图像，抓住m与对称轴的比较以及值域4??)上是增函数，则m的取值范围是 ． 例6 若函数f(x)?mx2?x?5在??2，
1
答：?0，1?
?4????m?01?提示：（1）当m=0时满足条件； （2）当m?0时，则?1；解得m?[0,]．
4???2?2m?
例7 lg25?lg2lg50?(lg2)2= ． 答：2
提示：原式?lg52?lg2lg(5?10)?(lg2)2?2lg5?lg2(lg5?1)?(lg2)2
?2lg5?lg2(lg2?lg5)?lg2?2．
例8 若f(x)是R上的减函数，且f(x)的图象经过点A（0，3）和B（3，－1），则不等式
f(x?1)?1?2的解集是 ．
答：?x|?1?x?2?
提示：由题知?2?f(x?1)?1?2，即?1?f(x?1)?3,单调性即可得到答案．
例9 已知f(3x)?4xlog23?233，则f(2)?(4f)答：2008
提示：?f(3x)?4xlog23?233?4log23x?233, ?f(x)?4lo2gx?由f(0)?3,(f1?)0?, 再利用函数的
(8?)f?(2??)f8的值等于 ．
2 33,?f(2)?f(4)?f(8)???f(28)?
8?233?4(log22?2log22?3log22???8log22)?1864?144?2008．
例10 设a?log3?,b?log23,c?log32，则a，b，c的大小关系是 ． 答： a?b?c 提示： ?log32?log22?log23?b?c
log23?log22?log33?log3??a?b?a?b?c．
例11 设f(x)是周期为2的奇函数，当0?x?1时，f(x)?2x(1?x)，则f(?)? ． 答：?
521 22
提示：f(?)?f(?
52511111?2)?f(?)??f()??2?(1?)??． 22222213例12 定义在R上的偶函数f(x)在?0,???上递增，f()?0，则满足f(log1x)＞0的x
8的取值范围是 ． 答：?0,??1????2,??? 2?提示：由f(x)是定义在R上的偶函数，得f(x)?f(?x)?f(x)， 则f(log1x)＞0即f(log1x)?f()，于是log1x?888131?1?，解此得x??0,???2,???． 32??
例13 已知定义在R上的奇函数f?x?和偶函数g?x?满足f?x??g?x??ax?a?x?2
?a?0且a?1?，若g?2??a，则f?2?? ．
答：
15 42?2提示：由条件可得：f?2??g?2??a?a即?f?2??g?2??a?2?2，f??2??g??2??a?2?a2?2，
?a2?2，由此解得g?2??2，f?2??a2?a?2，
15． 42?2所以a?2，f?2??2?2?
logx,x?0??2例14 设函数f?x???log?x,x?0若f?a??f??a?，则实数a的取值范围
?1???2是 ．
答：a???1,0?U?1,???
提示：若a?0，则log2a?log1a，即2log2a?0，所以a?1，
2若a?0则log1??a??log2??a?，即2log2??a??0，所以0??a?1，?1?a?0．
2所以实数a的取值范围是a?1或?1?a?0，即a???1,0?U?1,???．
例15 若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f(x)?2?3，则该函数的解析
3
x式为 ．
?2x?3,x?0?答：f(x)??0,x?0
??2?x?3,x?0?提示：当x?0,f(0)?0; 当x?0,?x?0,f(?x)?2?x?3??f(x)，所以f(x)??2?x?3．
例16 已知函数y=1?x?x?3的最大值为M,最小值为m,则
m的值为 ． M答：
2 2?1?x?0提示：由???3?x?1， 又y2?4?21?x?x?3?4?2(1?x)(x?3)，且y?0，
?x?3?0所以当x??1时，y取最大值M?22，当x??3或1时y取最小值m?2 ?
x例17 若函数f(x)?a?x?a(a?且0m2． ?M2有a?1)两个零点，则实数a的取值范围
是 ．
答：a?1
提示：设函数y?ax(a?0,且a?1}和函数y?x?a, 则函数f(x)?ax?x?a(a?0且a?1)有两个零点, 就是函数y?ax（a?0且a?1）与函数y?x?a有两个交点．
由图象可知，当0?a?1时两函数只有一个交点, 不符合, 当a?1时, 因为函数y?ax(a?1)的图象过点(0, 1), 而直线y?x?a所过的点一定在点(0, 1)的上方, 所以一定有两个交点． 所以实数a的取值范围是a?1．
例18 已知关于x的方程x?kx?k?3?0（k为实数）有两个正根，那么这两个根的倒数和的最小值是 ． 答：
22 32提示：设f(x)?x?kx?k?3，因为方程有两个正根，设两正根为x1,x2,
4
???0?k??2或k?6??k???k?6 则???0??k?0?2?k??3???f(0)?k?3?0?
例19 设函数f(x)?211x1?x2k3，因此，当k?6时取最小值． ????1?3x1x2x1x2k?3k?3ax2?bx?c(a?0)的定义域为D，若所有点(s,f(t))(s,t?D)构成
一个正方形区域，则a的值为 ．
答：?4
提示：设ax?bx?c?0的两根为x1,x2，由题得|x1?x2|?fmax(x)，
2b2?4ac4ac?b2即，得到|a|?2?a，即a??4． ?2a4a
例20 设函数f?x??x2?1．对任意x??,???，f?恒成立，则实数m的取值范围是 ． 答：???,??3?2???x?2??4mf?x??f?x?1??4f?m??m?????3??3U,?? ????2??2?提示：不等式化为f?x?1??4f?m??f??x?2??4mf?x??0，即 ?m?x212?21??4mx?2x?3?0， ?x?1??1?4m?4?2?1?4m2x2?4m2?0，整理得???2m?m?22因为x?0，所以1?212x?32x?3?3?2?4m?gx?，设，x?,?????． ?m2x2x22??于是题目化为1?1?3?2?4m?gx，对任意恒成立的问题． x?,?????2?m?2?2x?312?3?u?0?u?，的最大值．设，则． x?,????x2x32??2为此需求g?x??函数g?x??h?u??3u?2u在区间?0,?上是增函数，因而在u?处取得最大值．
3?3?
5
?2?2