1842?28?2?h???3???，所以1?2?4m2?umax?x??，
m3933?3?2242整理得12m?5m?3?0，即4m?33m?1?0，
????所以4m?3?0，解得m??233或m?， 22????3??3U,??． ????2??2?因此实数m的取值范围是m????,?
二、解答题
x例21 已知函数f(x)?2?1． 2|x|（1）若f(x)?2，求x的值；
（2）若2f(2t)?mf(t)≥0对于t?[1，2]恒成立，求实数m的取值范围．
tx解：（1）当x?0时，f(x)?0；当x?0时，f(x)?2?1 x2x由条件可知2?1?2，即22x?2?2x?1?0 解得 2x?1?2 x2∵x?0∴x?log2(1?2)
t2t（2）当t?[1,2]时，2(2?11t)?m(2?)?0 2tt222t4t2t2t即m(2?1)??(2?1)，∵2?1?0，∴m??(2?1)
∵t?[1,2]，∴?(22t?1)?[?17,?5]
故m的取值范围是[?5,??)．
例22 设二次函数f(x)?ax?bx?c在区间??2,2?上的最大值、最小值分别是M、m，集
2合A??x|f(x)?x?.
(1)若A?{1,2}，且f(0)?2，求M和m的值；
(2)若A?2?，且a?1，记g(a)?M?m，求g(a)的最小值.
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?2解：（1）由f(0)?2可知c?2，又A?1，2，故1，2是方程ax?(b?1)x?c?0的两实根. ??
1-b?1+2=??a解得a?1,b??2 ??,c?2=?a?
?f(x)?x2?2x?2?(x?1)2?1,x???2,2?
当x?1时，f(x)min?f(1)?1,即m?1
当x??2时，f(x)max?f(?2)?10,即M?10.
（2）由题意知，方程ax2?(b?1)x?c?0有两相等实根x=2,
1-b?2+2=??b=1-4a?a ?f(x)?a2x?(1?4a)x?4a,?x??,即???? 2,2?c=4a?4?c?a?其对称轴方程为x?1?3?4a?11?2?,又a?1,故2???,2?
2a?2?2a2a
8a?1?4a?1??, ?M?f(?2)?16a?2, m?f??4a?2a??g(a)?M?m?16a?1 4a63.4
又g(a)在区间?1,???上为单调递增的，?当a?1时，g(a)min?
xx例23 已知函数f(x)?a?2?b?3，其中常数a,b满足a?b?0 （1）若a?b?0，判断函数f(x)的单调性；
（2）若a?b?0，求f(x?1)?f(x)时的x的取值范围． 解：（1） 当a?0,b?0时，任意x1,x2?R,x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?a(21?22)?b(31?32)
∵ 21?22,a?0?a(21?22)?0，31?32,b?0?b(31?32)?0，
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xxxxxxxxxxxx∴ f(x1)?f(x2)?0，函数f(x)在R上是增函数． 当a?0,b?0时，同理函数f(x)在R上是减函数．
（2）f(x?1)?f(x)?a?2x?2b?3x?0，当a?0,b?0时，()??32xaa，则x?l og(3?)；2b2b2当a?0,b?0时，()??
32xaa，则x?log3(?)． 2b2b2例24 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的
车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20?x?200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（1）当0?x?200时，求函数v?x?的表达式；
（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f?x??x?v?x?可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
解：（1）由题意：当0?x?20时，v?x??60；当20?x?200时，设v?x??ax?b，
1?a????200a?b?0?3显然v?x??ax?b在?20,200?是减函数，由已知得?，解得?
200?20a?b?60?b??3?0?x?20,?60,?故函数v?x?的表达式为v?x?=?1
?200?x?,20?x?200.??30?x?20,?60x,?（2）依题意并由（Ⅰ）可得f?x???1
??x200?x,20?x?200.??3当0?x?20时，f?x?为增函数，故当x?20时，其最大值为60?20?1200；
11?x??200?x??10000当20?x?200时，f?x??x?200?x???， ??33?23?2当且仅当x?200?x，即x?100时，等号成立．
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10000． 310000?3333， 综上，当x?100时，f?x?在区间?0,200?上取得最大值3所以，当x?100时，f?x?在区间?20,200?上取得最大值
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．
例25 已知函数f(x)满足f(logax)?a(x?x?1)，其中a?0且a?1． 2a?1（1）对于函数f(x)，当x?(?1,1)时，f(1?m)?f(1?m2)?0，求实数m的取值集合； （2）当x?(??,2)时，f(x)?4的值恒为负数，求a的取值范围．
tx解：（1）令loga?t?t?R?，则x?a，所以f?t??a??at?a?t?， 2a?1aax?x?a?af?x???a?x?ax???f?x?． ，故x?R??????22a?1a?1所以f?x?在???,???上是奇函数，而且当a?1时，由复合函数单调性易得f?x?在???,???即 f?x??单调递增，当0?a?1时，f?x?在???,???单调递增也是单调递增，因此当a?0且a?1，
f?x?在???,???始终单调递增．
22由f?1?m??f1?m?0及f?x?是奇函数，得f?1?m??fm?1，再由f?x?的单调性
??????1?1?m?1?2及定义域得??1?1?m?1， 解得1?m?2．
?1?m?m2?1?（2）因为f?x?是R上的增函数，所以f?x??4在R上也是增函数．
由x?2，得f?x??f?2?．要使f?x??4在???,2?上恒为负数，只需f?2??4?0，即
a??a2?a?2??4?0，解得a?2?3,1?1,2?3． 2a?1????
例26 已知二次函数f(x)?ax?bx?c(a,b,c?R)，且同时满足下列条件： ①f(?1)?0；② 对于任意的实数x，都有f(x)?x?0；③ 当x?(0,2)时，有f(x)?(（1）求f(1)的值； （2）求a,b,c的值；
（3）当x???1,1?时，函数g(x)?f(x)?mx（m是实数）是单调函数，求m的取值范围． 解：（1）?f?x??x?0对一切x?R恒成立，?f?1??1?0，即f?1??1，
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2x?12)． 2?x?1?又?当x??0,2?时，f?x????，所以f?1??1．从而f?1??1．
?2?（2）f?1??1，?a?b?c?1．又f??1??0，?a?b?c?1，解之得b?a?c?由f?x??x?0即ax2?即?4a?1??0，?a?（3）g?x??221． 211?1??1?x???a??0在R上恒成立，得???4a??a??0，
42?2??2?11111．从而c?．即a,b,c的值分别为,,． 44424121111?1?x?x??mx?x2??m??x?． 42442?4?11m?2??1或2?1，?m?0或m?1． 则要使g?x?在??1,1?上是单调函数，只要
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