因此c的最大值为
9。 220、（本小题满分16分）
设f(x)是定义在区间(1,??)上的函数，其导函数为f'(x)。如果存在实数a和函数
h(x)，其中h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，使得f'(x)?h(x)(x2?ax?1)，则称
函数f(x)具有性质P(a)。 (1)设函数f(x)?lnx?b?2(x?1)，其中b为实数。 x?1(i)求证：函数f(x)具有性质P(b)； (ii)求函数f(x)的单调区间。 (2)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2?(1,??),x1?x2,设m为实数，
??mx1?(1?m)x2，??(1?m)x1?mx2，且??1,??1，
若|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，求m的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。 （1）(i)f'(x)?1b?21??(x2?bx?1) 22x(x?1)x(x?1)1?0恒成立，
x(x?1)2∵x?1时，h(x)?∴函数f(x)具有性质P(b)；
b2b2(ii)（方法一）设?(x)?x?bx?1?(x?)?1?，?(x)与f'(x)的符号相同。
24b2?0,?2?b?2时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当1?42当b??2时，对于x?1，有f'(x)?0，所以此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b??2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b??1，而?(0)?1， 2对于x?1，总有?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； （方法二）当b?2时，对于x?1，?(x)?x2?bx?1?x2?2x?1?(x?1)2?0
所以f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,??)上递增； 当b?2时，?(x)图像开口向上，对称轴x?b?1，方程?(x)?0的两根为：2b?b2?4b?b2?4b?b2?4b?b2?42，而,?1,??(0,1)
22222b?b?4b?b2?4b?b2?4 当x?(1,)时，?(x)?0，f'(x)?0，故此时f(x)在区间(1,)
22b?b2?4上递减；同理得：f(x)在区间[,??)上递增。
2综上所述，当b?2时，f(x)在区间(1,??)上递增；
22 当b?2时，f(x)在(1,b?b?4)上递减；f(x)在[b?b?4,??)上递增。
22(2)（方法一）由题意，得：g'(x)?h(x)(x2?2x?1)?h(x)(x?1)2 又h(x)对任意的x?(1,??)都有h(x)>0，
所以对任意的x?(1,??)都有g?(x)?0，g(x)在(1,??)上递增。 又????x1?x2,????(2m?1)(x1?x2)。 当m?1,m?1时，???，且??x1?(m?1)x1?(1?m)x2,??x2?(1?m)x1?(m?1)x2， 2
综合以上讨论，得：所求m的取值范围是（0，1）。
（方法二）由题设知，g(x)的导函数g'(x)?h(x)(x2?2x?1)，其中函数h(x)?0对于任
2意的x?(1,??)都成立。所以，当x?1时，g'(x)?h(x)(x?1)?0，从而g(x)在区间
(1,??)上单调递增。
①当m?(0,1)时，有??mx1?(1?m)x2?mx1?(1?m)x1?x1，
??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，得??(x1,x2)，同理可得??(x1,x2)，所以
由g(x)的单调性知g(?)、g(?)?(g(x1),g(x2))， 从而有|g(?)?g(?)|<|g(x1)?g(x2)|，符合题设。 ②当m?0时，??mx1?(1?m)x2?mx2?(1?m)x2?x2，
??(1?m)x1?mx2?(1?m)x1?mx1?x1，于是由??1,??1及g(x)的单调性知
g(?)?g(x1)?g(x2)?g(?)，所以|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。
③当m?1时，同理可得??x1,??x2，进而得|g(?)?g(?)|≥|g(x1)?g(x2)|，与题设不符。
因此综合①、②、③得所求的m的取值范围是（0，1）。
数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 A． 选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。
AOBCD
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO， ∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=900。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。
B． 选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k0??01?,N=??10?，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△01????A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得MN???k0??01??0k???10???10? 01??????由??0k??0?2?2??00k?，可知A1（0，0）、B1（0，-2）、C1（k，-2）。 ???????10??001??0?2?2?计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或-2。
C． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。 [解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：?2?2?cos?，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2?y2?2x,(x?1)2?y2?1，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x?4y?a?0，
又圆与直线相切，所以
D． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）
|3?1?4?0?a|3?422?1,解得：a?2，或a??8。
设a、b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a2?b2)。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 （方法一）证明：a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)
?(a?b)[(a)5?(b)5]
?(a?b)2[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]
因为实数a、b≥0，(a?b)2?0,[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]?0 所以上式≥0。即有a3?b3?ab(a2?b2)。 （方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
a3?b3?ab(a2?b2)?a2a(a?b)?b2b(b?a)?(a?b)[(a)5?(b)5]
当a?b时，a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； 当a?b时，a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b)[(a)5?(b)5]?0； 所以a3?b3?ab(a2?b2)。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。