22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18， P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X的分布列为：
X P 10 0.72 5 0.18 2 0.08 -3 0.02 （2）设生产的4件甲产品中一等品有n件，则二等品有4?n件。 由题设知4n?(4?n)?10，解得n? 又n?N，得n?3，或n?4。
3所求概率为P?C4?0.83?0.2?0.84?0.8192
14， 5答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
23、（本小题满分10分） 已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。
[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10分。
b2?c2?a2（方法一）（1）证明：设三边长分别为a,b,c，cosA?，∵a,b,c是有理数，
2bcb2?c2?a2是有理数，分母2bc为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性， b2?c2?a2∴必为有理数，∴cosA是有理数。
2bc（2）①当n?1时，显然cosA是有理数；
当n?2时，∵cos2A?2cos2A?1，因为cosA是有理数， ∴cos2A也是有理数；
②假设当n?k(k?2)时，结论成立，即coskA、cos(k?1)A均是有理数。 当n?k?1时，cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA，
1cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]，
211cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k?1)A，
22解得：cos(k?1)A?2coskAcosA?cos(k?1)A
∵cosA，coskA，cos(k?1)A均是有理数，∴2coskAcosA?cos(k?1)A是有理数， ∴cos(k?1)A是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。 （方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
AB2?AC2?BC2cosA?是有理数。
2AB?AC（2）用数学归纳法证明cosnA和sinA?sinnA都是有理数。
①当n?1时，由（1）知cosA是有理数，从而有sinA?sinA?1?cosA也是有理数。 ②假设当n?k(k?1)时，coskA和sinA?sinkA都是有理数。 当n?k?1时，由cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA?sinkA，
2sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?coskA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA，
及①和归纳假设，知cos(k?1)A和sinA?sin(k?1)A都是有理数。 即当n?k?1时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。