河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题
第2讲 空间中的平行与垂直
来源中国教育出版网zzstep.com]【高考考情解读】 高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以选择、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．
1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理
线面平行的判定定理 线面平行的性质定理 线面垂直的判定定理 a∥b??b?α??a∥α a?α?? a∥α??a?β??a∥b α∩β＝b?? a?α，b?α?a∩b＝O???l⊥α l⊥a，l⊥b??a⊥α????a∥b ?b⊥α?来源中§国教§育出§版网 线面垂直的性质定理 2． 面面平行与垂直的判定定理、性质定理 面面垂直的判定定理 a⊥α????α⊥β ?a?β? 面面垂直的性质定理 面面平行的判定定理 α⊥βa?αa⊥cα∩β＝c????a⊥β ?? ??b?β??α∥β a∩b＝O?a∥α，b∥α?a?β 第 1 页 共 16 页
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面面平行的性质定理 α∥β??α∩γ＝a??a∥b β∩γ＝b?? 提醒 使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可． 3． 平行关系及垂直关系的转化示意图
考点一 空间线面位置关系的判断
来源中§教§网§§§tep]例1 (1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面
( )
(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是 A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m 答案 (1)B (2)B
( )
解析 (1)对于A，直线l1与l3可能异面、相交；对于C，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于D，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．所以选B.
(2)A中直线l可能在平面α内；C与D中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得B正确．
解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、
空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何
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中的结论不能完全移植到立体几何中．
(1)(2013·广东)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列
命题中正确的是
( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n B．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β (2)平面α∥平面β的一个充分条件是 A．存在一条直线a，a∥α，a∥β
来源:z*zs*tep.com] ( )
B．存在一条直线a，a?α，a∥β
C．存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α D．存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α 答案 (1)D (2)D
解析 (1)A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中m与n可平行、可异面；C中若α∥β，仍然满足m⊥n，m?α，n?β，故C错误；故D正确． (2)若α∩β＝l，a∥l，a?α，a?β，则a∥α，a∥β，故排除A. 若α∩β＝l，a?α，a∥l，则a∥β，故排除B.
若α∩β＝l，a?α，a∥l，b?β，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D. 考点二 线线、线面的位置关系
例2 如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝
∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB. (1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF； (2)求证：EC∥平面PAB.
证明 (1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点， ∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD. ∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC， ∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点， ∴EF∥CD，∴EF⊥PC.
∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF. (2)方法一
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如图，取AD的中点M， 连接EM，CM. 则EM∥PA.
∵EM?平面PAB，PA?平面PAB，
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∴EM∥平面PAB.
在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM， ∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB. ∵MC?平面PAB，AB?平面PAB， ∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M， ∴平面EMC∥平面PAB. ∵EC?平面EMC， ∴EC∥平面PAB. 方法二
如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连接PN. ∵∠NAC＝∠DAC＝60°， AC⊥CD，∴C为ND的中点． ∵E为PD的中点，∴EC∥PN. ∵EC?平面PAB，PN?平面PAB， ∴EC∥平面PAB.
(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的
性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线，再用线平行于面的判定定理易得．
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(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．
如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D
为AC的中点．
(1)求证：B1C∥平面A1BD；
(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1； (3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积． (1)证明 如图所示，连接AB1交A1B于E，连接ED. ∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，且AB＝BB1， ∴侧面ABB1A1是正方形，
∴E是AB1的中点，又已知D为AC的中点， ∴在△AB1C中，ED是中位线， ∴B1C∥ED，∴B1C∥平面A1BD.
(2)证明 ∵AC1⊥平面A1BD，∴AC1⊥A1B. ∵侧面ABB1A1是正方形，∴A1B⊥AB1. 又AC1∩AB1＝A，
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∴A1B⊥平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC－A1B1C1是直三棱柱， ∴BB1⊥B1C1， ∴B1C1⊥平面ABB1A1.
(3)解 ∵AB＝BC，D为AC的中点，
来源中教网z,s,tep]∴BD⊥AC，∴BD⊥平面DC1A1. ∴BD是三棱锥B－A1C1D的高． 由(2)知B1C1⊥平面ABB1A1， ∴BC⊥平面ABB1A1.
∴BC⊥AB，∴△ABC是等腰直角三角形． 又∵AB＝BC＝1，∴BD＝∴AC＝A1C1＝2.
112121
∴三棱锥B－A1C1D的体积V＝·BD·S△A1C1D＝××A1C1·AA1＝×2×1＝.
3322126考点三 面面的位置关系
例3 如图，在几何体ABCDE中，AB＝AD＝2，AB⊥AD，AE⊥
平面ABD.M为线段BD的中点，MC∥AE，AE＝MC＝2. (1)求证：平面BCD⊥平面CDE；
(2)若N为线段DE的中点，求证：平面AMN∥平面BEC. 证明 (1)∵AB＝AD＝2，AB⊥AD，M为线段BD的中点， 1
∴AM＝BD＝2，AM⊥BD.
2∵AE＝MC＝2，
1
∴AE＝MC＝BD＝2，∴BC⊥CD.
2∵AE⊥平面ABD，MC∥AE， ∴MC⊥平面ABD. ∴平面ABD⊥平面CBD，∴AM⊥平面CBD. 又MC綊AE，
∴四边形AMCE为平行四边形， ∴EC∥AM，
∴EC⊥平面CBD，∴BC⊥EC， ∵EC∩CD＝C，∴BC⊥平面CDE，
来源中国教育出版网2， 2
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