河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题
∴平面BCD⊥平面CDE.
(2)∵M为BD中点，N为ED中点， ∴MN∥BE且BE∩EC＝E， 由(1)知EC∥AM且AM∩MN＝M， ∴平面AMN∥平面BEC.
(1)证明面面平行依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平
面平行即可，从而将证明面面平行转化为证明线面平行，再转化为证明线线平行． (2)证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中线、高线或添加辅助线解决．
如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． 求证：(1)AF∥平面BCE； (2)平面BCE⊥平面CDE.
证明 (1)如图，取CE的中点G，连接FG，BG. 1∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE.
2∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，
来源:zzstep.com]∴AB∥DE，∴GF∥AB. 1
又AB＝DE，∴GF＝AB.
2
∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE.
(2)∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD.
∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE.
∵BG?平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE. 考点四 图形的折叠问题
例4 (2012·北京)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F
为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图(2)．
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(1)求证：DE∥平面A1CB； (2)求证：A1F⊥BE；
(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．
折叠问题要注意在折叠过程中，哪些量变化了，哪些量没有变化．第(1)问证
明线面平行，可以证明DE∥BC；第(2)问证明线线垂直转化为证明线面垂直，即证明A1F⊥平面BCDE；第(3)问取A1B的中点Q，再证明A1C⊥平面DEQ. (1)证明 因为D，E分别为AC，AB的中点， 所以DE∥BC.
来源中&国教&育出&版网
又因为DE?平面A1CB，BC?平面A1CB， 所以DE∥平面A1CB.
(2)证明 由已知得AC⊥BC且DE∥BC， 所以DE⊥AC.
所以DE⊥A1D，DE⊥CD. 所以DE⊥平面A1DC. 而A1F?平面A1DC， 所以DE⊥A1F. 又因为A1F⊥CD， 所以A1F⊥平面BCDE， 所以A1F⊥BE.
(3)解 线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下： 如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC. 又因为DE∥BC， 所以DE∥PQ.
所以平面DEQ即为平面DEP. 由(2)知，DE⊥平面A1DC， 所以DE⊥A1C.
又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点， 所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.
来源中教网从而A1C⊥平面DEQ.
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故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.
(1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情
况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口．(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形．
(2013·广东)如图(1)，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，
AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图(2)所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝2
. 2
(1)证明：DE∥平面BCF； (2)证明：CF⊥平面ABF；
2
(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.
3(1)证明 在等边△ABC中，AD＝AE，∴立．∴DE∥BC，
又DE?平面BCF，BC?平面BCF，∴DE∥平面BCF. (2)证明 在等边△ABC中，F是BC的中点，∴AF⊥CF. ∵在三棱锥A－BCF中，BC＝
2， 2
ADAE
＝在折叠后的三棱锥A－BCF中也成DBEC
111
∴BC2＝BF2＋CF2＝＋＝，∴CF⊥BF.
442又BF∩AF＝F，∴CF⊥平面ABF.
111111331
(3)解 VF－DEG＝VE－DFG＝××DG×FG×GE＝×××?×?×＝. 32323?32?3324
1． 证明线线平行的常用方法
(1)利用平行公理，即证明两直线同时和第三条直线平行； (2)利用平行四边形进行转换； (3)利用三角形中位线定理证明；
来源:zzstep.com](4)利用线面平行、面面平行的性质定理证明．
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2． 证明线面平行的常用方法
(1)利用线面平行的判定定理，把证明线面平行转化为证线线平行； (2)利用面面平行的性质定理，把证明线面平行转化为证面面平行． 3． 证明面面平行的方法
证明面面平行，依据判定定理，只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可，从而将证面面平行转化为证线面平行，再转化为证线线平行． 4． 证明线线垂直的常用方法
(1)利用特殊平面图形的性质，如利用直角三角形、矩形、菱形、等腰三角形等得到线线垂直；
(2)利用勾股定理逆定理；
(3)利用线面垂直的性质，即要证线线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在平面即可． 5． 证明线面垂直的常用方法
(1)利用线面垂直的判定定理，把线面垂直的判定转化为证明线线垂直； (2)利用面面垂直的性质定理，把证明线面垂直转化为证面面垂直；
(3)利用常见结论，如两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面等．
6． 证明面面垂直的方法
证明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即证明一个面过另一个面的一条垂线，将证明面面垂直转化为证明线面垂直，一般先从现有直线中寻找，若图中不存在这样的直线，则借助中点、高线或添加辅助线解决．
1． 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点
1
E，F，且EF＝，则下列结论中错误的是
2A．AC⊥BE
来源中。国教。育出。版网 ( )
B．EF∥平面ABCD
C．三棱锥A－BEF的体积为定值 D．△AEF的距离与△BEF的面积相等 答案 D
解析 ∵AC⊥平面BB1D1D，又BE?平面BB1D1D， ∴AC⊥BE，故A正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在线段B1D1上运动， 故EF∥平面ABCD.故B正确．
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C中由于点B到直线EF的距离是定值，故△BEF的面积为定值， 又点A到平面BEF的距离为定值，故VA－BEF不变．故C正确．
由于点A到B1D1的距离与点B到B1D1的距离不相等，因此△AEF与△BEF的面积不相等，故D错误．
2． 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中
点．
(1)证明：平面ADC1B1⊥平面A1BE；
(2)在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你 的结论．
(1)证明 如图，因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以B1C1⊥面ABB1A1. 因为A1B?面ABB1A1， 所以B1C1⊥A1B.
来源:z+zs+tep.com]又因为A1B⊥AB1，B1C1∩AB1＝B1， 所以A1B⊥面ADC1B1.
因为A1B?面A1BE，所以平面ADC1B1⊥平面A1BE. (2)解 当点F为C1D1中点时，可使B1F∥平面A1BE. 证明如下：
1
易知：EF∥C1D，且EF＝C1D.
2
1
设AB1∩A1B＝O，则B1O∥C1D且B1O＝C1D，
2所以EF∥B1O且EF＝B1O， 所以四边形B1OEF为平行四边形． 所以B1F∥OE.
又因为B1F?面A1BE，OE?面A1BE. 所以B1F∥面A1BE.
(推荐时间：60分钟)
一、选择题
1． 已知α，β，γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确的是
( )
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