河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题
A．若α⊥β，l⊥β，则l∥α
B．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥α C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β D．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β答案 C
解析 当α⊥β，l⊥β时，l可以在α内，∴选项A不正确； 如果α过l上两点A，B的中点，则A，B到α的距离相等， ∴选项B不正确；
当α⊥β，α⊥γ时，可以有β∥γ，∴选项D不正确，∴正确选项为C. 2． 已知直线m，n和平面α，则m∥n的必要不充分条件是
A．m∥α且n∥α C．m∥α且n?α 答案 D
解析 m∥n不能推出m∥α且n∥α，m∥α，n∥α时，m，n可能相交或异面，为即不充分也不必要条件，A不正确；m⊥α，n⊥α时，m∥n，为充分条件，但m∥n不能推出m⊥α，n⊥α，故B不正确；m∥n不能推出m∥α且n?α，m∥α，且n?α时，m和n可能异面，为即不充分也不必要条件，故C不正确；m∥n时，m，n与α成等角，必要性成立，但充分性不成立，故选D.
3． 如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ADB
沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD.则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是
( )
B．m⊥α且n⊥α D．m，n与α成等角
( )
来源中国教育出版网
A．平面ABD⊥平面ABC C．平面ABC⊥平面BDC 答案 D
解析 ∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD， 又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD， 所以CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，
又AD⊥AB，AD∩CD＝D，所以AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ADC，故选D.
来源中教网
B．平面ADC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
4． 下列命题中，m、n表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面．
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ.
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正确的命题是 A．①③ 答案 C
( )
B．②③ C．①④ D．②④
解析 ②平面α与β可能相交，③中m与n可以是相交直线或异面直线．故②③错，选C.
5． 一正四面体木块如图所示，点P是棱VA的中点，过点P将木块锯开，
使截面平行于棱VB和AC，若木块的棱长为a，则截面面积为( ) a2
A. 2a2
C. 4答案 C
解析 如图，在面VAC内过点P作AC的平行线PD交VC于点D，在 面VAB内作VB的平行线交AB于点F，过点D作VB的平行线交BC于 点E.连接EF，易知PF∥DE，故P，D，E，F共面，且面PDEF与VB aa2
和AC都平行，易知四边形PDEF是边长为的正方形，故其面积为，故选C.
246． 在正三棱锥S－ABC中，M，N分别是SC，BC的中点，且MN⊥AM，
若侧棱SA＝23，则正三棱锥S－ABC外接球的表面积是 ( ) A．12π C．36π 答案 C
来源中国教育出版网zzstep.com]
a2
B. 3a2D. 5
B．32π D．48π
解析 由MN⊥AM且MN是△BSC的中位线得BS⊥AM， 又由正三棱锥的性质得BS⊥AC，所以BS⊥面ASC.
即正三棱锥S－ABC的三侧棱SA、SB、SC两两垂直，外接球直径为3SA＝6. ∴球的表面积S＝4πR2＝4π×32＝36π.选C. 二、填空题
7． 设x，y，z是空间中的不同直线或不同平面，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则
x∥y”为真命题的是________(填出所有正确条件的代号)．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；⑤x，y，z为直线． 答案 ③④
解析 因为垂直于同一个平面的两条直线平行，所以③正确；因为垂直于同一条直线的两个平面平行，所以④正确；若直线x⊥平面z，平面y⊥平面z，则可能有直线x在平面y内的情况，所以①不正确；若平面x⊥平面z，平面y⊥平面z，则平面x与平面y
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可能相交，所以②不正确；若直线x⊥直线z，直线y⊥直线z，则直线x与直线y可能相交、异面、平行，所以⑤不正确．
8． 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC
为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F 在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF. 答案 a或2a
解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF. 要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可． 令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x. 易知Rt△CAF∽Rt△FA1D， 得
ACAF2a3a－x
＝，即＝， A1FA1Dxa
整理得x2－3ax＋2a2＝0， 解得x＝a或x＝2a.
来源中教网z*z*s*tep]
9． 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂
直于圆O所在的平面，点M为线段PB的中点．有以下四个命题： ①PA∥平面MOB； ②MO∥平面PAC； ③OC⊥平面PAC； ④平面PAC⊥平面PBC.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)． 答案 ②④
解析 ①错误，PA?平面MOB；②正确；③错误，否则，有OC⊥AC，这与BC⊥AC矛盾；④正确，因为BC⊥平面PAC. 三、解答题
10．(2013·重庆)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝23，
πBC＝CD＝2，∠ACB＝∠ACD＝. 3(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若侧棱PC上的点F满足PF＝7FC，求三棱锥P－BDF的体积． (1)证明 因为BC＝CD，所以△BCD为等腰三角形， 又∠ACB＝∠ACD，故BD⊥AC. 因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥BD.
从而BD与平面PAC内两条相交直线PA，AC都垂直， 所以BD⊥平面PAC.
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(2)解 三棱锥P－BCD的底面BCD的面积
来源中国教育出版网zzstep.com]
S112π
△BCD＝2BC·CD·sin∠BCD＝2×2×2×sin 3＝3.
由PA⊥底面ABCD，得
V11
P－BCD＝3·S△BCD·PA＝3×3×23＝2.
由PF＝7FC，得三棱锥F－BCD的高为1
8PA，
故V11111
F－BCD＝3·S△BCD·8PA＝3×3×8×23＝4，
所以V17
P－BDF＝VP－BCD－VF－BCD＝2－4＝4
. 11．(2012·广东)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝1
2AB，PH为△PAD中AD边上的高． (1)证明：PH⊥平面ABCD；
(2)若PH＝1，AD＝2，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积； (3)证明：EF⊥平面PAB.
(1)证明 因为AB⊥平面PAD，PH?平面PAD， 所以PH⊥AB.
因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.
因为PH?平面ABCD，AB∩AD＝A，AB，AD?平面ABCD， 所以PH⊥平面ABCD.
(2)解 如图，连接BH，取BH的中点G，连接EG. 因为E是PB的中点， 所以EG∥PH，
来源中教网z_z_s_tep]
且EG＝11
2PH＝2.
因为PH⊥平面ABCD， 所以EG⊥平面ABCD.
因为AB⊥平面PAD，AD?平面PAD， 所以AB⊥AD，所以底面ABCD为直角梯形， 所以V1
E－BCF＝3S△BCF·EG
＝13·12·FC·AD·EG＝212
. (3)证明 取PA中点M，连接MD，ME.
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因为E是PB的中点，所以ME綊1
2AB.
又因为DF綊1
2
AB，所以ME綊DF，
所以四边形MEFD是平行四边形，所以EF∥MD. 因为PD＝AD，所以MD⊥PA. 因为AB⊥平面PAD，所以MD⊥AB. 因为PA∩AB＝A，所以MD⊥平面PAB， 所以EF⊥平面PAB.
12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分别为AB，DE的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，F为A′C的中点，A′C＝4. (1)求证：平面A′DE⊥平面BCD； (2)求证：FB∥平面A′DE.
来源中§国教§育出§版网
证明 (1)由题意，得△A′DE是△ADE沿DE翻折而成的， ∴△A′DE≌△ADE.
∵∠ABC＝120°，四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝60°. 又∵AD＝AE＝2，
∴△A′DE和△ADE都是等边三角形． 如图，连接A′M，MC， ∵M是DE的中点， ∴A′M⊥DE，A′M＝3.
在△DMC中，MC2＝DC2＋DM2－2DC·DMcos 60° ＝42＋12－2×4×1cos 60°， ∴MC＝13.
在△A′MC中，A′M2＋MC2＝(3)2＋(13)2＝42＝A′C2. ∴△A′MC是直角三角形，∴A′M⊥MC. 又∵A′M⊥DE，MC∩DE＝M， ∴A′M⊥平面BCD. 又∵A′M?平面A′DE， ∴平面A′DE⊥平面BCD. (2)取DC的中点N，连接FN，NB.
∵A′C＝DC＝4，F，N分别是A′C，DC的中点，来源中国教育出版网zzstep.com]
∴FN∥A′D.
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又∵N，E分别是平行四边形ABCD的边DC，AB的中点， ∴BN∥DE.
又∵A′D∩DE＝D，FN∩NB＝N， ∴平面A′DE∥平面FNB. ∵FB?平面FNB， ∴FB∥平面A′DE.
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