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赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略
函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x2，y=x1或y=，且x1 例1定义在(﹣1,1)上的函数f(x),对任意的x,y∈(﹣1,1)都有f(x)+f(y)=f().求证：f(x)是奇函数. 解析：在f(x)+f(y)=f()中，令x=y=0有f(0)+f(0)=f(0)，∴f(0)=0， 又令y=﹣x.有f(x)+f(﹣x)=f(0)=0，即f(x)+f(﹣x)=0，∴f(x)是奇函数. 例2已知f(x)是定义在R上的函数，且f(x+1)=，(f(x)≠0，1)，若f(1)=2，求f(2002)的值. 解析：在f(x+1)=中，将x换为x+1有，f(x+2)==,1﹣)=﹣， 从而f(x+4)=﹣=﹣)=f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数， 故f(2002)=f(4×500+2)=f(2)==﹣3. 例3已知定义域为(0，+∞)的函数f(x)，对于任意的x>0、y>0时，恒有f(xy)=f(x)+f(y). (1)求证：当x>0时，f()=﹣f(x)；(2)若x>1时恒有f(x)<0，求证：f(x)必有反函数； 解析：(1)在f(xy)=f(x)+f(y)中，令x=y=1，得f(1)=0，又令y=，得f(x)+f()=f(x·)=f(1)=0， ∴当x>0时，f()=﹣f(x)； (2)设x1>0、x2>0且x1 f(x+y)=f(x)·f(y)，且f(1)=a>0，(1)求f()、f()；(2)证明：f(x)是周期函数；(3)记an=f(2n+)，求(lnan). 解析：：(1)在f(x+y)=f(x)·f(y)中，将x、y均换为，f(+)=f()·f()=f2()≥0， 即f(x)=f2()≥0，x∈[0,1]，又x、y均换为，∴f(+)=f()·f()=f2()， 由已知f2()=f(1)=a，所以，f()=a,)，同理f()=a,). (2)由于函数f(x)的图象关于直线x=1对称，∴f(1－x)=f(x+1)， ∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x－1)=f(x+1)，将x换为x+1得，f(x)=f(x+2)， ∴f(x)是以2为周期的周期函数； (3)略. 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于 精心整理 抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。本文就抽象函数常见题型及解法评析如下： 一、定义域问题 例1.已知函数f(x)的定义域是［1，2］，求f（x）的定义域。 2解：f(x)的定义域是［1，2］，是指1?x?2，所以f(x)中的x满足1?x?4 2222从而函数f（x）的定义域是［1，4］ 评析：一般地，已知函数f(?(x))的定义域是A，求f（x）的定义域问题，相当于已知f(?(x))中x的取值范围为A，据此求?(x)的值域问题。 例2.已知函数f(x)的定义域是[?1，2]，求函数f[log的定义域。 解：f(x)的定义域是[?1，2]，意思是凡被f作用的对象都在[?1，2]中，由此可得 1111?1?log(3?x)?2?()?3?x?()?1?x? 2242?11212(3?x)]所以函数f[log1(3?x)]2] 的定义域是[1，114评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（x） 精心整理 的定义域是A，求函数f(?(x))的定义域。正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类问题实质上相当于已知?(x)的值域B，且B?A，据此求x的取值范围。例2和例1形式上正相反。 二、求值问题 例3.已知定义域为R的函数f（x），同时满足下?列条件：①f(2)?1，f(6)?1；②f(x?y)?f(x)?f(y)，求f（3），f5（9）的值。 解：取x?2，y?3，得f(6)?f(2)?f(3) 4f(3)?? 因为f(2)?1，f(6)?1，所以55又取x?y?3 得f(9)?f(3)?f(3)??8 5评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取x?2，y?3，这样便把已知条件f(2)?1，f(6)?1与欲求5的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的常用 技巧。 三、值域问题 例4.设函数f（x）定义于实数集上，对于任意实数x、y，f(x?y)?f(x)f(y)总成立，且存在x?x，使得 12精心整理 f(x)?f(x)，求函数f(x)的值域。 12解：令x?y?0，得f(0)?[f(0)]，即有f(0)?0或f(0)?1。 2若f(0)?0，则f(x)?f(x?0)?f(x)f(0)?0，对任意x?R均成立，这与存在实数x?x，使得f(x)?f(x)成立矛盾，故f(0)?0，必有f(0)?1。 1212由于f(x?y)?f(x)f(y)对任意x、y?R均成立，因此，对任意x?R，有 下面来证明，对任意x?R，f(x)?0 设存在x0?R，使得f(x)?0，则f(0)?f(x00?x0)?f(x0)f(?x0)?0 这与上面已证的f(0)?0矛盾，因此，对任意x?R，f(x)?0 所以f(x)?0 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 例5.设对满足x?0，x?1的所有实数x，函数f(x)满足 f(x)?f(x?1)?1?xx，求f（x）的解析式。 (1)?1中以xx代换其中x， ?1)?1?x解：在f(x)?f(xx精心整理 得： 再在（1）中以?x1代换x，得 ?1(1)?(2)?(3)化简得： x3?x2?1f(x)?2x(x?1) ?1评析：如果把x和xx分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略。 五、单调性问题 例6.设f（x）定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y，有f(x?y)?f(x)?f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。 证明：在f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?[f(0)] 2若f(0)?0，令x?0，y?0，则f(x)?0，与f(x)?1矛盾 所以f(0)?0，即有f(0)?1 当x?0时，f(x)?1?0；当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0 而f(x)?f(?x)?f(0)?1 ?0 所以f(x)?f(1?x)