精心整理
当x?x12?0时，可设x?mx12222(m?1)
2则f(x)?f(x)?f(mx)?f(x)?f(m)?f(x)?f(x)?f(m)?0
12所以对于x?1时有f(x)?0 当0?x?x时，可设x?mx12112222(0?m?1) 2则f(x)?f(x)?f(mx)?f(x)?f(m)?f(x)?f(x)?f(m)?0 2所以对于0?x?1时有f(x)?0 综上所述，当x?R时，f(x)的值域为全体实数。
?4、判断函数的周期性 例5、函数f(x)的定义域为全体实数，对任意实c)?0，数a、b，有f(a?b)?f(a?b)?2f(a)f(b)，且存在c?0，使得f(2求证：f(x)是周期函数。 cc,b?，代入f(a?b)?f(a?b)?2f(a)f(b) 证明：令a?x?22可得f(x?c)??f(x)
所以f(x?2c)?f[(x?c)?c]??f(x?c)?f(x) 即f(x)是以2c为周期的周期函数。
精心整理
例6、若对于常数m和任意实数x，等式
f(x?m)?1?f(x)1?f(x)恒成立，求证：f(x)是周期函数。
证明：将已知恒等式中的x换成x+m得 又将上式中的x换成x+2m得 故f(x)是以4m为周期的周期函数。 5、解不等式 例7、已知函数f(x)满足(1)f(1)?1；(2)函数的值2域是[-1，1]；(3)在其定义域上单调递减；(4)对于任意实数数x、y恒有f(x?y)?f(xy) 解不等式：f?111(x)f?1()?1?x2 解：由已知条件(2)(3)知，函数f(x)的反函数存在，且f?1(1)?12， 又因为函数f(x)在定义域[-1，1]上单调递减， 设y?f1?1(x1),y2?f?1(x2)，则有x?f(y),11x2?f(y2)，
即x?x12?f(y1)?f(y2)?f(y1y2)，即有yy12?f?1(x1)f?1(x2)?f?1(x1?x2)精心整理
于是原不等式等价于：
11??1??1f(x?)?f(1)x??1??1?x1?x??11???1?1??1?x???1?x???x?01?x1?x????1?x?1??1?x?1??1??1?1?1??1??1??1?x1?x??
故原不等式的解集为{0}。 6、求函数的解析式 例8、设对于满足x?1的所有实数x，函数f(x)满
?33?x)?f()?x，求f(x)的解析式。 足f(xx?11?x33?xx?3f()?f(x)?解：将x取为xx?代入原等式，有(1) ?11?xx?13?xx?33?xf(x)?f()?又将x取为1代入原等式，有(2) ?xx?11?x(1)+(2)得，x3?7xf(x)?(x?1)22?2x 例9、设对于满足x?0,x?1的所有实数x，函数f(x)满
?1)?1?x，求f(x)的解析式。 足f(x)?f(xx?1)?1?x(1) 解：因为，f(x)?f(xx?1?112x?1)?f(?)?将x取为xx代入原等式，有f(xx(2) x?1x精心整理
1x?2又将x取为?x1代入原等式，有(3) f(?)?f(x)??1x?1x?1(1)-(2)+(3)化简得，
x3?x2?1f(x)?2x(x?1)