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又当x?0时，f(0)?1?0
所以对任意x?R，恒有f(x)?0 设???x?x122???，则x22?x1?0，f(x2?x1)?1
所以f(x)?f[x?(x1?x1)]?f(x1)f(x2?x1)?f(x1)
所以y?f(x)在R上为增函数。 评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。 六、奇偶性问题 例7.已知函数f(x)(x?R，x?0)对任意不等于零的实数x、x都有f(x?x)?f(x)?f(x)，试判断函数f（x）的奇偶性。
121212解：取x又取x11??1，x2?1得：f(?1)?f(?1)?f(1)，所以f(1)?0 ?x2??1得：f(1)?f(?1)?f(?1)，所以f(?1)?0 则f(?x)?f(?1)?f(x)，即f(?x)?f(x) 再取x1?x，x2??1因为f(x)为非零函数，所以f(x)为偶函数。 七、对称性问题
f?1例8.已知函数y?f(x)满足f(x)?f(?x)?2002，求(x)?f(2002?x)的值。
?1精心整理
解：已知式即在对称关系式f(a?x)?f(a?x)?2b中取a?0，b?2002，所以函数y?f(x)的图象关于点（0，2002）对称。根据原函数与其反函数的关系，知函数y?f(x)的图象关于点（2002，0）对称。
?1所以f?1(x?1001)?f?1(1001?x)?0 ?1将上式中的x用x?1001代换，得f(x)?f?1(2002?x)?0
评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a、b均为常数，函数y?f(x)对一切实数x都满足f(a?x)?f(a?x)?2b，则函数y?f(x)的图象关于点（a，b）成中心对称图形。 八、网络综合问题 例9.定义在R上的函数f（x）满足：对任意实数m，n，总有f(m?n)?f(m)?f(n)，且当x>0时，0 值范围。 解：（1）在f(m?n)?f(m)?f(n)中，令m?1，n?0，得f(1)?f(1)?f(0)，因为f(1)?0，所以f(0)?1。 精心整理 在f(m?n)?f(m)?f(n)中，令m?x，n??x 因为当x?0时，0?f(x)?1 所以当x?0时?x?0，0?f(?x)?1 而f(x)?f(?x)?f(0)?1 ?1?0 所以f(x)?f(1?x)又当x=0时，f(0)?1?0，所以，综上可知，对于任意x?R，均有f(x)?0。 设???x1?x2???，则x22?x1?0，0?f(x2?x1)?1 所以f(x)?f[x?(x21?x1)]?f(x1)?f(x2?x1)?f(x1) 所以y?f(x)在R上为减函数。 （2）由于函数y=f（x）在R上为减函数，所以f(x)?f(y)?f(x?y)?f(1) 2222即有x2?y2?1 ，根据函数的单调性，有ax?y?2又f(ax?y?2)?1?f(0)2?0 由A?B??，所以直线ax?y?2?0与圆面x点。因此有2?1，解得?1?a?1。 a2?1?y2?1无公共 评析：（1）要讨论函数的单调性必然涉及到两个问题：一是f（0）的取值问题，二是f（x）>0的结论。这是解题的关键性步骤，完成这些要在抽象 精心整理 函数式中进行。由特殊到一般的解题思想，联想类比思维都有助于问题的思考和解决。 1．判断函数的奇偶性 例1、若f(x?y)?f(x)?f(y)对于实数x、y都成立，且f(x)不恒为零，判断函数f(x)的奇偶性。 解：在f(x?y)?f(x)?f(y)中令x?y?0，得f(0)?0 又在f(x?y)?f(x)?f(y)中令y??x，得f(x?x)?f(x)?f(?x) 即f(0)?f(x)?f(?x)，因为f(0)?0，所以f(?x)??f(x) 由于f(x)不恒为零，所以函数f(x)是奇函数 例2、已知不恒为零的函数f(x)(x?R,x?0)对任意不等于零的实数x、y都有f(xy)?f(x)?f(y)，试判断函数f(x)的奇偶性。 解：取x??1,y?1得f(?1)?f(?1)?f(1)?f(1)?0 又取x?y??1得f(?1)?f(?1)?f(?1)?f(?1)?0 再取y??1得f(?x)?f(x)?f(?1)?f(?x)?f(x) 由于f(x)不恒为零，所以函数f(x)是偶函数 2、讨论函数的单调性 精心整理 例3、设f(x)定义于实数集上，当x?0时，f(x)?1，且对于任意实数x、y都有f(x?y)?f(x)f(y)，求证：f(x)在R上为增函数。 证明：由f(x?y)?f(x)f(y)中取x?y?0，得f(0)?f2(0) 若f(0)?0，令x?0，y?0，则得f(x)?0，与f(x)?1矛盾 所以，f(0)?0，即有f(0)?1 当x?0时，f(x)?1?0 当x?0时，?x?0，f(?x)?1?0，而f(x)f(?x)?f(x?x)?f(0)?1 ?0 所以，f(x)?f(1?x)当x?0时，f(0)?1?0 设???x?x12???，则x?x?0，f(x?x)?1 2121所以，f(x)在R上为增函数。 3、求函数的值域 例4、已知函数f(x)在定义域R上是增函数，且满足f(xy)?f(x)?f(y)，求f(x)的值域。 ?解：当x?y?1时，f(1)?2f(1)，即f(1)?0 又因为，函数f(x)在定义域R上是增函数，所以 ?