样的关系。现在储油罐既发生纵向变位又发生横向变位，如果能建立此时油位高和变位角之间的关系，那么罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系自然就得到了。于是我们想到通过空间几何的知识建立数学模型。
三.符号说明
?表示储油罐纵向倾斜的角度; V满表示储油罐的总体积;
?表示储油罐横向旋转的角度; V(h)表油位高为h时油量的体积;
h1表示无变位时进/出油的油位的高度; h3表示纵向变位后油位高; ; h4表示横向变位后油位的高度;
h2表示有位变化时进/出油的油位的高度h5表示发生纵向和横向变位后的油位高度;
四．模型的假设
4.1问题一模型的假设
1.假设附件一中所给数据都真实可靠。 2.假设储油罐只发生了纵向倾斜，即??0。
3.假设进油和出油不相互干扰，即进油完了以后才允许车辆加油。
4.2问题二模型的假设
1.假设储油罐本身不发生形变，即它的体积可求。
2.假设储油罐内保持常温，即油量的体积不随温度的变化而变化。 3.假设附件二中所给的数据真实可靠。
五.模型的建立与求解
5.1问题一模型的建立 5.1.1线性回归方程的建立
（1）无变位进油时，通过题中的数据用SPSS软件将罐内总油量（油量初值+累加进油量）和油位高度作散点图如图1.1，
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图1.1.
显然，总油量与油位高成线性相关，其相关系数如表1所示，
由表2知，模型的拟合优度和调整后的拟合优度均为99.7%，非常高，而又由表1知，总油量的p=0.00<0.05，故总油量与油位高的回归方程为：
? h1?0.25x890.????????①991
方程①的拟合图像如图1.2所示，
图1.2.
5
（2）变位进油时，总油量与油位高度的散点图如图1.3，
图1.3.
显然由以上表3，表4知：变位后总进油量和油位高之间的拟合优度为100%，相关系数也能通过检验。故变位后总进油量和油位高之间的回归方程为：
? h2?0.23x9186.76????????②
方程②的拟合图像如图1.4所示，
图1.4.
（3）无变位出油时，经图像拟合知，无变位进油和无变位出油与油位高的关系相同，即， h3?h1???????????③
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（4）变位出油时，经图像拟合知，变位进油和变位出油的相关关系相同，于是: h4?h2???????????④
虽然各种条件和图像都与一元线性回归方程吻合的很好，但是经过仔细的分析知：由于储油罐是椭圆柱体，油位的高与油量的变化显然较复杂，即油位与油量的变化不能简单的看作线性关系。于是进一步分析建立以下模型来讨论罐体变位后对罐容表的影响。
5.1.2微积分和空间几何模型的建立 （1）无变位时
由于储油罐是椭圆柱体，可将油位随油量的变化分为三个阶段：
?第一阶段：油位到达储油罐中点以下附近前??第二阶段：油位从中点以下到中点以上这一对称区域?第三阶段：第一阶段的对称区域?
图1.5.
显然，由图1.5知，第一阶段油位的变化随油量的增加而增加，但是其变化率?逐渐减小，这与因为储油罐的形状变化一致，即与实际相符合。
显然，由图1.6知，第三阶段油位的变化随油量的增加而增加，而其变化率?刚好与第一阶段相反（即增大），这也与实际吻合。
7
图1.6.
（2）有变位时
由图中几何关系可知，
h?[('油位探注油口 出油油浮子 1.2m 1.2m 油 α 水平线
0.4m 2.05m1.78m (a) 小椭圆油罐正面示意图
(b) 小椭圆油罐截面示意
图1.7小椭圆型油罐形状及尺寸示意
2.452?0.4)?10?tan??h]/cos??[825tan??h]/cos?（5.1.1.1）
3其中h是无变位时的油位高，h'是变位后的油位高。
V1?abL[(h?b)h(2b?h)?barcsin(2hb?1)?12?b]2【1】 （5.1.1.2）
其中v1表示小椭圆柱体储油罐在某一液面高度下的油量体积，a,b分别
表示小椭圆的长半轴和短半轴，h是无变位时的油位高。L表示椭圆的长
度。
由（5.1.1.1）和（5.1.1.2）两式有
v1?
ab[L(?hc?o's??8'b2?5ht?a?n'?)b (?h?co?s?barcsin(2hcos??825tan?b'?1)?12?b2]???????(5.1.1.3) 8