hV2(h)?h?S0水平(h)dh122??[(H?h)2Hr?h?H022??(r?h)?(h?r)ArcTan(22222r?H2Hr?h?H22)]dh???hr232??h623?2Hh2Hr?h?H33?h2hr2Hr?h?H3222
r?H2Hr?h?H22H?3Hr?2r32r33ArcTan(h(r?H)2Hr?h?H222)?h?3hr332ArcTan()?ArcTan()r2Hr?h?H（9）
于是，得到了图2.3所示部分的体积计算公式
V(h)?V1(h)?2V2(h)
另外，参数H并不是独立的。事实上，如图2.8可以看出，它可以由r和R计算得到。
图2.8 H的计算
利用勾股定理， (r?H)2?R2?r2 （10） 则可以计算得到：H?r?r2?R2 （11） 将式（11）代入V(h)?V1(h)?2V2(h)得
V(h)?V1(h)?2V2(h)??hr??(LR?2322?h3233?hLR?h?22222243hr?R22R?hh)22r?R(2r?R))ArcTan(r?RR?h2222 （12）
222R?h222?(h?3hr)ArcTan(3)?43rArcTan(3hr?RrR?h2) 14
（1）R?h?2R的情况 （2）0?h?R的情况
图2.9 剩余油料的体积公式
下面根据图2.3中阴影部分的体积V(h)来导出储油罐中体积和高度的关系式 （如图2.9所示，分两种情况）：
?V满?V(h?R),h?R??2V(h)?? （13）
V?满?V(R?h),h?R??2其中，V满表示储油罐的体积。根据圆柱体和球缺的体积计算公式，
2?H(3r?H)3(r?r?R)(2r?2222V满??RL???RL?222?3 （14）
r?R)22于是，得到了卧式储油罐所剩油体积和油面高度的关系表达式V(h)。V(h)含有两个参数：圆柱体半径R，圆柱体的长度L和球缺的半径r，并且r?R?0 其中参数R可以直接测量得到。 5.3.2问题二模型的建立
由题目中第二个图可知：
纵向变位后有：h3?h0?cos?（其中h3表示纵向变位后油位高，h0表示附件
二中显示的油位高度） （5.3.2.1）
由图2.10及空间几何知识可知:
横向变位后有：h4?h0?cos?(h4表示横向变位后油位的高度) （5.3.2.2）
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地平线 油位探测装置 油位探针 地平线 油位探针 油 油 β 3m （a）无偏转倾斜的正截
地平线垂直线 （b）横向偏转倾斜后正截
图2.10储油罐截
表示发生纵向和横向变位
如果横向和纵向都有变位则有：h5?h0cos?cos?(h5后的油位高度) （5.3.2.3）
????h?h?2000tan??5?cos??cos?cos?? (5.3.2.4) ?h0cos?cos??h?2000tan??cos?cos??tan??200022?1?cos?cos??cos?cos??hcos?cos??h?200022?01?cos?cos??
V满??RL?2222?H(3r?H)322??RL?22?3(r?r?R)(2r?222r?R)（5.3.2.5）
22r?R?（r?H)
(5.3.2.6)
其中V满表示储油罐的总体积（此公式根据5.3.1得出来的），且H?1m，R?1.5m
L?8m，r?1.625m.将这些数据代入式（5.3.2.5）中得到：
7.75?3?20.583?m3V满?18?? （5.3.2.7）
?V满?V(h?R),h?R??2V(h)?? （5.3.2.8）
V?满?V(R?h),h?R??2 16
V(h)?V1(h)?2V2(h)??hr??(LR?2322?h3233?hLR?h?22222243hr?R22R?hh)22r?R(2r?R))ArcTan(r?RR?h2222 (5.3.2.9)
222R?h222?(h?3hr)ArcTan(3)?43rArcTan(3hr?RrR?h2)5.4问题二模型的求解
根据（5.3）中的各式得罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度?和横向偏转角度? ）之间的一般关系为：
V满?V满cos?cos??V(h?R)??V(2000?h0cos?cos??R),h?R?2221?cos?cos??2 V(h)??cos?cos??V满?V(R?h)?V(R?2000?h0cos?cos?),h?R22?21?cos?cos??运用Mathematica软件及附件二中的数据求解得： ??(2.8?,4?.，5??(0.3?,0.6?)
根据题目的图中的数据以及附件二中的数据对油量和变为参数等进行拟合
得图2.11.
图2.11.
由图2.11知，油量与油位呈线性关系，故可得罐容表如下表： 油位高度(mm) 油量容积(L) 476.40 576.40 676.40 776.40 876.40 976.40 8776.944 11281.628 13786.262 16290.896 18795.530 21300.164 油位高度(mm) 油量容积(L) 油位高度(mm) 1076.40 1176.40 1276.40 1376.40 1476.40 1576.40 23804.798 26309.432 28814.066 31318.700 33823.334 36327.968 1676.40 1776.40 1876.40 1976.40 2076.40 2176.40 油量容积(L) 38832.602 41337.236 43841.870 46346.504 48851.138 51355.772 17
六．模型的评价
6.1优点
1.建立了简单易懂的模型并得出了较为合理的解。
2.本文深入浅出，层层递进，第二问紧扣第一问，使得问题得以简化。
3．文章通过图像曲线的拟合，对问题进行对比分析得出结论，是一种简单而
实用的办法。
6.2缺点
1.本文说理性文字较少，图形过多，使得文章过于单一化。
2.本文在处理储油罐的变为识别时没有给出具体的方法，只注重了表面的说
理。
3.本文在处理数据时过于人为化，可能造成结果与实际情况产生较大偏差。
七．模型的改进
第一问中，要求确定出油位高间隔1cm时的罐容表的标定值，但是我们只通过拟合得到一个标定值，应该确定成一个表或是一个范围。于是可以从实际情况出发，根据采集数据时间等条件建立微分方程模型。第二问中，可以考虑建立不规则体积求解的微积分模型，这样与实际情况可能会更接近。通过对题中的数据分析，除了建立回归模型外，可以考虑建立图论等模型进一步对问题深入的理解。
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八．参考文献
【1】管冀年，赵海.卧式储油罐内油品体积的使用方法.http://www.cnki.net.
【2】王郑耀. 卧式加油灌剩余油料体积的计算. http://wangzhengyao.xiloo.com .
【3】黄永安，李文成，高小科.Matlab7.0/Simulink6.0应用实例仿真与高效算法
开发[M].北京：清华大学出版社.2008.6
【4】裘宗燕，李琦，李建国.科学程序设计引论—用Mathenatica和C求解计算
问题[M].北京：高等教育出版社,2001.7.
九．附录（见附件）
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