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?CC1?平面ABC，
A1 ?CD为C1D在平面ABC内的射影． ?△ABC中，AC?BC，D为AB中点，
?AB?CD， ?AB?C1D． ?A1B1∥AB，
M C1
B1 C
D
G F A E
B ··················································································································· 4分 ?A1B1?C1D． ·
（II）解法一：过点A作CE的平行线，
交ED的延长线于F，连结MF． ?D，E分别为AB，BC的中点， ?DE⊥AC．
又?AF∥CE，CE⊥AC． ?AF⊥DE．
?MA⊥平面ABC，
?AF为MF在平面ABC内的射影． ?MF⊥DE．
??MFA为二面角M?DE?A的平面角，?MFA?30?．
在Rt△MAF中，AF?1aBC?，?MFA?30?， 22?AM?3a． 6作AG⊥MF，垂足为G， ?MF⊥DE，AF⊥DE， ?DE⊥平面DMF，
?平面MDE⊥平面AMF， ?AG⊥平面MDE．
a， 2aa?AG?，即A到平面MDE的距离为．
44?CA∥DE，
?CA∥平面MDE，
?在Rt△GAF中，?GFA?30，AF?a?C到平面MDE的距离与A到平面MDE的距离相等，为．
4解法二：过点A作CE的平行线，交ED的延长线于F，连接MF． ?D，E分别为AB，BC的中点， ?DE∥AC．
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又?AF∥CE，CE?DE ?AF⊥DE．
?MA⊥平面ABC，
?AF是MF在平面ABC内的射影， ?MF⊥DE．
??MFA为二面角M?DE?A的平面角，?MFA?30?．
在Rt△MAF中，AF?1aBC?，?MFA?30?， 22?AM?3·················································································································· 8分 a． ·
6设C到平面MDE的距离为h，
?VM?CDE?VC?MDE．
11?S?CDE?MA?S△MDE?h 33S△CDE1a23?CE?DE?，MA?a， 286S△MDE?11AF32DE?MF?DE??a， ?22cos30121a23132a??a?h， ???386312?h?aa，即C到平面MDE的距离为． ······································································ 12分 44
19．（本小题满分12分）
某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C与产量q的函数关系式为
q3C??3q2?20q?10(q?0)
3该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p与产量q的函数关系式如下表所示：
市场情形 好 中 差 概率 0.4 0.4 0.2 价格p与产量q的函数关系式 p?164?3q p?101?3q p?70?4q 中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网
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设L1，L2，L3分别表示市场情形好、中差时的利润，随机变量?k，表示当产量为q，而市场前景无法确定的利润．
（I）分别求利润L1，L2，L3与产量q的函数关系式； （II）当产量q确定时，求期望E?k；
（III）试问产量q取何值时，E?k取得最大值．
本小题主要考查数学期望，利用导数求多项式函数最值等基础知识，考查运用概率和函数知识建模解决实际问题的能力． （I）解：由题意可得
q3L1?(164?3q)?q?(?3q2?20q?10)
3q3??+144q?10 (q?0).
3q3?81q?10 (q?0). 同理可得L2??3q3L3???50q?10 (q?0). ···························································································· 4分
3（II）解：由期望定义可知
E?q?0.4L1?0.4L2?0.2L3
q3q3q3?0.4*(?+144q?10)?0.4*(??81q?10)?0.28*(??50q?10)
333q3???100q?10. ················································································································ 8分
3（III）解：由（II）可知E?q是产量q的函数，设
q3f(q)?E?q???100q?10 (q?0)，
32得f'(q)??q?100.令f'(q)?0解得
q?10,q??10(舍去).
由题意及问题的实际意义可知，当q?10时，f(q)取得最大值，即E?q最大时的产量为10.
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20．（本小题满分14分）
已知正三角形OAB的三个顶点都在抛物线y2?2x上，其中O为坐标原点，设圆C是OAB的内接圆（点C为圆心） （I）求圆C的方程；
（II）设圆M的方程为(x?4?7cos?)2?(y?7cos?)2?1，过圆M上任意一点P分别
????????作圆C的两条切线PE，PF，切点为E，F，求CE，CF的最大值和最小值．
本小题主要考查平面向量，圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识，考查综合运用解析几何知识解决问题的能力．
2?y12??y2?，y，y（I）解法一：设A，B两点坐标分别为?1?，?2?，由题设知 22????2?y12??y12??y12y2?222?y??y?????????(y1?y2)． 222??2??2??222222解得y1?y2?12，
所以A(6，23)，B(6，?23)或A(6，?23)，B(6，23)．
0)，则r?设圆心C的坐标为(r，2?6?4，所以圆C的方程为 3············································································································· 4分 (x?4)2?y2?16． ·
解法二：设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由题设知
22． x12?y12?x2?y2222又因为y1?2x2．即 ?2x1，y2?2x2，可得x12?2x1?x2(x1?x2)(x1?x2?2)?0．
由x1?0，x2?0，可知x1?x2，故A，B两点关于x轴对称，所以圆心C在x轴上．
?3?3?3?30)，r?2?r，设C点的坐标为(r，则A点坐标为?r，r?，于是有?解得r?4，??22??2?2????所以圆C的方程为(x?4)?y?16． ··············································································· 4分 （II）解：设?ECF?2a，则
222????????????????··········································· 8分 CE?CF?|CE|?|CF|?cos2??16cos2??32cos2??16． ·
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在Rt△PCE中，cos??x4，由圆的几何性质得 ?|PC||PC||PC|≤|MC|?1?7?1?8，|PC|≥|MC|?1?7?1?6， ········································· 10分 12≤cos?≤，由此可得 23????????16?8≤CE?CF≤?．
9????????16则CE?··································································· 12分 CF的最大值为?，最小值为?8． ·
9所以
21．（本小题满分12分）
已知数列{an}，{bn}与函数f(x)，g(x)，x?R满足条件：
an?bn，f(bn)?g(bn?1)(n?N*).
，t?0，t?2，g(x)?2x，f(b)?g(b)，liman存在，求x的取（I）若f(x)≥tx?1n??值范围；
（II）若函数y?f(x)为R上的增函数，g(x)?f?1(x)，b?1，f(1)?1，证明对任意
n?N*，liman（用t表示）．
n???an?1?tbn?1?1t,得an?1?an?1。又已知t?2，可得 ·解：（I）由题设知?··················· 4分
a?2b2n?1?nan?1?2t2?(an?). ································································································ 4分 t?22t?222t2???tb??0.，?0，所以?an??t?2t?22t?2??由t?0，t?2，f(b)?g(b)，可知a1?是等比数列，其首项为tb?2t22t?(tb?)()n?1，即，公比为。于是an?t?22t?2t?22an?(tb?liman?n??2t2t)()n?1?。又liman存在，可得0??1，所以?2?t?2且t?0。
n??t?22t?222 ························································································································· 8分 2?t?1（II）证明：因为g(x)?f(x)，所以an?g(bn?1)?f?1(bn?1)，即bn?1?f(an)。下面用
*数学归纳法证明an?1?an（n?N）.
(1) 当n?1时，由f(x)为增函数，且f(1)?1，得a1?f(b1)?f(1)?1，
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