中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料
b2?f(a1)?f(1)?1，a2?f(b2)?f(1)?a1，
即a2?a1，结论成立。
…10分
(2) 假设n?k时结论成立，即ak?1?ak。由f(x)为增函数，得f(ak?1)?f(ak)，即
bk?2?bk?1，进而得f(bk?2)?f(bk?1)，即ak?2?ak?1，这就是说当n?k?1时，结论
也成立。根据（1）和（2）可知，对任意的n?N，an?1?an。…12分
22．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?x?2t(x?x)?x?2t?1，g(x)?（I）证明：当t?22时，g(x)在R上是增函数；
（II）对于给定的闭区间[a，b]，试说明存在实数 k，当t?k时，g(x)在闭区间[a，b]上是减函数；
（III）证明：f(x)≥2t222*1f(x)． 23． 2本小题主要考察二次函数，利用导数研究函数的单调性和极值，函数的最大值和最小值等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力。 （I）证明：由题设得g(x)?e2x?te(x??1)x，g'(x)?2e2x?tex?1。又由
2ex?e?x?22，且t?22得t?2ex?e?x，即g'(x)?2e2x?tex?1?0。由此可知，
g(x)在R上是增函数。
（II）因为g'(x)?0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k，使得t>k时
x?xx?x即t?2e?e在闭区间[a，b]上成立即可。因为y?2e?eg'(x)?2e2x?tex?1?0，
g'(x)?0在闭区间[a，b]上连续，故在闭区间[a，b]上有最大值，设其为k，于是在t>k时，
在闭区间[a，b]上恒成立，
即g(x)在闭区间[a，b]上为减函数。 （III）设F(t)?2t?2(e?x)t?e2x2x7分
?x2?1，即
ex?x21xF(t)?2(t?)?(e?x)2?1，
22中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网
中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 上中学学科网，下精品学科资料
易得
F(t)?1x(e?x)2?1。········································································································· 9分 2令H(x)?ex?x，则H'(x)?ex?1，易知H'(0)?0。当x?0时，H'(0)?0；当x?0时，H'(0)?0。故当x?0时，H(x)取最小值，H(0)?1。所以
1x3(e?x)2?1?， 22于是对任意的x,t，都有F(t)?
33，即f(x)?。 ·························································· 12分 22中学学科网学科精品系列资料 WWW.ZXXK.COM 版权所有@中学学科网