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§4 n维向量空间
1． 证明：V?{(x,y,z)x?2y?3z?0}是R3的子空间。 证明：??,??V，不妨记??(x1,y1,z1)，??(x2,y2,z2)， 则x1?2y1?3z1?0，x2?2y2?3z2?0。
????(x1?x2,y1?y2,z1?z2)
?x1?x2??2?y1?y2??3?z1?z2???x1?2y1?3z1???x2?2y2?3z2??0
故????V。
?k?R，k??(kx1,ky1,kz1)
kx1?2ky1?3kz1?k?x1?2y1?3z1??0
故k??V。故V?{(x,y,z)x?2y?3z?0}是R3的子空间。
2． 设
V1?{(x1, x2,V2?{(x1, x2,,xn)xi?R, x1? x2?,xn)xi?R, x1? x2??xn?0}?xn?0}
问V1,V2是不是向量空间？为什么？
解;V1 是向量空间（仿照上题证明对V1线性运算封闭）
V2 不是向量空间，因为(0, 0,,0)，0?0??0?0，则(0, 0,,0)?V2。
?1??1??1??5?????????3．证明：由?1??2?, ?2??2?, ?3??0?构成R3的一个基，并求???9?在这
?3??0??0???2?????????个基下的坐标。
111证明：A??1?2?3?220?6?0，故R??1,?2,?3??3，故?1,?2,?3线性无
3003关且R??1,?2,?3??R??1,?2,?3构成R3的一个基。
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?1??1??2??0?????????10?114． 设?1???, ?2???, ?1???, ?2???，
?0??1??3???1?????????013????????1?V1?span{?1,?2},V2?span{?1, ?2}，证明：V1?V2。
（提示：只需证明?1,?2与?1, ?2等价）
?1?3?2??1, ?2??1??2；证明：由题的条件可知： ?1?即 ??1,?2?与{?1, ?2}等价?V1?V2 设x?(x1,x2)，说明x1x2平面上f(x)?f?T11??1?3?2?,?2???1??2? 22?x1??x1??=A??x??的几何意义。 x?2??2?（1）A??
?00??01???10?；（2）；（3）A?A?????。 ??01??10??01? 48
§5 内积与正交向量组
1． 试用施密特法把下列向量组正交化
?1??1??1??????? （1）?1??1?, ?2??2?, ?3??4?；
?1??3??9????????1???1??1??1??
?1????1??1???1??,??6?????2??2?21?1??2???3?1???0? ?1,?1?3??1??1????????3??3??3,?1?,??1?32?1,?1?2,?2?1??3?11?1????????1482??????? ?2??4?1?0????3??2???3??9??1??1?????????1?????3?2． 设?，?是n维向量，且???，证：???2??＋?。
22 （提示：根据模与内积的关系以及内积的性质证明） 证明：
???????,?????,???,???,???,?
2又????所以
2?,???,??0
22??????,???,?????
3． 证明：???????R, ??????－??。
证明：
???R, ??????－??????R, ????,?????????,???? ????R, ????,?????????,????
????R, ?,???,????,????,????,???,???????,?????,???????R, ?,??2??,???2?,???,??2??,???2?,? ????R, 4??,??0???? 49
第四章
线性方程组
§1 线性方程组的一般理论
1． 判断题
（1）Ax?b有解的充要条件有三种：①R(A)?R(A)；②b能由A?(a1,a2,?，an)的列向量组线性表出；③向量组a1,a2,,an与向量组a1,a2,,an,b等价。
（ ? ）
（2）Ax?0有非零解的充要条件是A的列向量组的秩小于n（n是未知数的个数）。
（ ? ）
（3）若Ax?b(b?0)有无穷多解，则Ax?0有非零解。 （ ?） （4）若Ax?0有非零解，则Ax?b(b?0)必有无穷多解。 （ ? ） 2． 选择题
（1）A为m?n阶矩阵，齐次线性方程组Ax?0有无数个解，则必有 D 。 （A）m?n； （B）R(A)?m； （C）A中有两列对应元素成比例； (D) A的列向量组线性相关。
Am?nx?0有无数个解?Am?nx?0有非零解?R?Am?n??n?A的列向量组线性相注：
关
（2）A为m?n阶矩阵，非齐次线性方程组Ax?b的解不唯一，则下列结论正确的是
D 。
（A）m?n； （B）R(A)?m； （C）A为零矩阵； (D) Ax?0的解不唯一。 注： Ax?b的解不唯一?Ax?0的解不唯一，反之不成立，因为Ax?0的解不唯一时Ax?b无解。但Ax?0的解不唯一是Ax?b的解不唯一必要条件。
（3）已知?1,?2是非齐次线性方程组Ax?b的两个不同的解，?1,?2是非齐次线性方
k1,k2?R，程组Ax?b导出方程组的基础解系，则方程组Ax?b的通解必是B 。
（A）k1?1?k2(?1??2)? （C）k1?1?k2(?1??2)?注：（A）k1?1?k2(?1??2)?
?1??22； （B）k1?1?k2(?1??2)?； （D）k1?1?k2(?1??2)?不是Ax?b特解
?1??22；
?1??22中
?1??22。
?1??22?1??2250