4． 证明：若向量组?1, ?2, （提示：用定义证明） 证明:不妨设?1?0 法一：显然1?1?0?2?, ?s中含有零向量，则此向量组一定线性相关。
?0 ?s?0，即存在不全为零的数使得?1, ?2, , ?s线性组合
为零，故向量组一定线性相关。
法二：由?1?0可知向量组?1线性相关，又??1????1, ?2, 相关。
注意：因为向量组?1, ?2, , ?s?，故向量组一定线性
, ?s中含有零向量，故行列式?1, ?2, , ?s?0，故向量
组一定线性相关。（这样证明是错误的，因为??1, ?2, ） , ?s?不一定是方阵。
5．已知向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关，?1??1??2,?2??2??3，
?3??3??4,?4??4??1，用定义证明：向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。
解：设
k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0，由题条件可得
?k1?k4??1??k1?k2??2??k2?k3??3??k3?k4??4?0
1?k1?k4?0?k?k?01?12又?1, ?2, ?3,?4线性无关，故有?方程组系数行列式为
0k?k?0?23?0?k3?k4?0 k2, k,3k4由克拉姆法则方程组有只有零解，故只有k1,才成立，故向量组?1, ?2, ?3,?4线性无关。
00?1101101001?1?0
全为零k1?1?k2?2?k3?3?k4?4?0
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6．若向量?可由?1, ?2, ,? s线性表出，则表示法唯一的充要条件为
?1, ?2, , ?s 线性无关。
（提示：可考虑用反证法证明） 证明：充分性（?1, ?2, 的表示为
, ?s 线性无关?表示法唯一）：若表示不唯一，设有两个不同
k1?1?k2?2?l1?1?l2?2?由（1）（2）得?k1?l1??1??k2?l2??2?由两个表示不一样有k1?l1,k2?l2,盾。故当?1, ?2, ?ks?s???ls?s??(1) (2)
，
??ks?ls??s?0ks?ls不全为零，这与?1, ?2, , ?s 线性无关矛
, ?s 线性无关时表示法唯一
, ?s 线性无关）若?1, ?2, , ?s 线性相关，则
必要性：（表示法唯一??1, ?2, 存在不全为零的数设为m1,m2,ms有
m1?1?m2?2?又?可由?1, ?2, ?ms?s?0?3?
, ?s线性表出记为
n1?1?n2?2??ns?s??(4)
由（3）（4）可得
?n1?m1??1??n2?m2??2?由m1,m2,??ns?ms??s??(5)
ms不全为零知道（4）（5）是?两个不同的表示，这与表示唯一矛盾。
故表示法唯一??1, ?2,
, ?s 线性无关
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7． 若向量组?1, ?2, ?3线性无关，问常数l,m需满足什么条件时，向量组
l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关？
（提示：用定义判定）
解：设x1?l?1??2??x2??2??3??x3?m?3??1??0 即有
?lx1?x3??1??x1?x2??2??x2?mx3??3?0
由向量组?1, ?2, ?3线性无关得
?lx1?x3?0??x1?x2?0 ?x?mx?03?2l方程组的系数行列式为10110?lm?1，由克拉姆法则得lm?1?0时方程组只有零解。
01m当lm??1时l?1??2, ?2??3, m?3??1线性无关。
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8．判断题
（1）若向量组?1, ?2, , ?m线性相关，则任一向量?i(1?i?m)可由其余向量线
性表出。 （ ? ） 正确为：若向量组?1, ?2, , ?m线性相关，则至少有一个向量?i(1?i?m)可
??1??0??0??????????由其余向线性表出。反例：??0?,?1?,?0??
??0??0??0??????????（2）对任意一组不全为零的数?1, ?2, 向量组?1, ?2, , ?m，有?1?1??2?2???m?m?0，则
, ?m线性相关。 （ ? ）
思考一下这在什么情况下发生 （3）若?1, ?2, , ?m线性相关，?1, ?2, , ?m亦线性相关，则有不全为零的数
?1, ?2, , ?m，使 ?1?1??2?2???m?m?0，
?1?1??2?2???m?m?0同时成立。 （ ? ）
, ?m，使
（4）若有不全为0的数?1, ?2, ?1?1??2?2????m?m??1?1??2?2????m?m?0
成立，则?1, ?2, , ?m线性相关，?1, ?2, , ?m亦线性相关。 （ ? ）
（5）对于三维向量，若两向量线性相关，则这两向量平行；若三向量线性相关，则
这三向量共面。 （ ? ）
9．选择题
（1）n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是（ D ）
??s?s?0；
（A）存在不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使?1?1??2?2???1??0??0???1??0??0???????????????反例??0?,?1?,?0??线性相关但0?0??0?1???0??0
??0??0??0???0??0??0???????????????正确应为： n维向量组?1,?2,,?s(3?s?n)线性无关的充分必要条件是
??s?s?0
对任意的不全为零的数?1, ?2, ?, ?s，使?1?1??2?2? （B）?1,?2,
,?s中任意两个向量线性无关；
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（C）?1,?2, （D）?1,?2,（2）设?1,?2,,?s中存在一个向量，它不能用其余向量线性表出； ,?s中任意一个向量都不能用其余向量线性表出。
,?m均为n维向量，那么下列结论正确的是（ B ）
??m?m?0，则?1, ?2, ,?m线性相关；
??m?0时均有
（A）若?1?1??2?2?注意：无论?1,?2,,?m是否无关，当?1? ?2? ?1?1??2?2???m?m?0
,?m，有?1?1?2?2????m?m?0，
（B）对任意一组不全为零的数?1, ?2, 则向量组?1, ?2, ,?m线性无关；
??m?m?0只有?1? ?2? ??m?0。
, ?m，
注意：（B）意味着 ?1?1??2?2? （C）若?1, ?2, 有?1?1??2?2?注意：?1, ?2, , ?m线性相关，则对任意一组不全为零的数?1, ?2, ??m?m?0；
, ?m线性相关只是至少存在不全为零的数?1, ?2, , ?m，有
?1?1??2?2???m?m?0未必是对任意一组不全为零的数有
?1?1?????m?m?0 2?2 （D）因为0?1?0?2??0?m?0，所以?1, ?2, , ?m和?1, ?2, , ?m和
, ?m线性无关。
(3) 设有任意两个n维向量组?1, ?2, 全
为
零
的
数
, ?m，若存在两组不
, km,
使
?1, ?2, k1, k2, (?1?k1)?1?(?2?k2)?2?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2?（A） ?1, ?2, （B） ?1, ?2, （C） ?1??1,（D） ?1??1,注意：
?(?m?km)?m??(?m?km)?m?0，则 （ D ）。
, ?m 和?1, ?2, , ?m 和?1, ?2, ,?m??m,?1??1,,?m??m,?1??1,, ?m都线性相关； , ?m都线性无关； ,?m??m线性无关； ,?m??m线性相关。
(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?(?1?k1)?1?(?2?k2)?2??(?m?km)?m?0??1??1??1???2??2??2??
??m??m??m??k1??1??1??k2??2k?2??35
?km??m??m??0