??1??2??3?????????2137． 设?????n??1??2???n??n??n?1, ?n）
, ?n，且
，证明：?1, ?2, , ?n与?1, ?2, , ?n等价。
（提示：可利用克来姆法则反解出?1, ?2, 证明：由条件可得?1, ?2, , ?n能线性表示?1, ?2, ??1, ?2, , ?n????1, ?2, ?0??1, ?n?A，其中A??1???1?111r1?rk,k?2,1n11111110110111??1?1? ??0??n?111 10101011101计算A?110111111101?(n?1)110111111n?1n?1n?10111010?111?(n?1)00?10000011?(?1)n?1(n?1)?0 ?1, ?n能线性表示
所以A可逆，故??1, ?2, , ?n????1, ?2, , ?n与?1, ?2, ,tin)(i?1,2,, ?n?A?1，即?1, ?2, , ?n等价。
?1, ?2, , ?n，故?1, ?2, 28． 设有向量组?i?(ti,ti,,m;m?n)，试证：向量组?1, ?2, , ?m线
性无关，其中t1,t2,,tm为m个互不相等且不为0的常数。
（提示：用定义证明，其间涉及范德蒙行列式的计算）
??1????2??证明：作矩阵A?，故R(A)?R??1, ?2, ??????m?, ?m?。
计算矩阵A的秩，显然R(A)?m。且矩阵A有一个m阶子式
41
t1t2tmt122t22tmt1mmt2mtm??tii?1m1t11t21tmt1m?1m?1t2m?1tm??tii?1m1?i?j?m??tj?ti??0，故R(A)?m。
故R(A)?m?R??1, ?2,
, ?m??m?向量组?1, ?2, , ?m线性无关
9． 设向量组{?1, ?2, , ?s}的秩为r1，向量组{?1, ?2, ?, ?t}的秩为r2
,?s ??,1 ?r3的,秩,为,2t,}证明：，
, 2向量组{?1?max{r1,r2}?r3?r1?r2。
证明：设{?1, ?2, , ?r1}是{?1, ?2, , ?s}的极大无关组，
{?1, ?2, {?1, ?2, , ?r2}是{?1, ?2, ?, ?t}的极大无关组。显然 , ?r1,?1, ?2, , ?r2}能线性表示{?1, ?2, , ?r2}?R{?1, ?2, , ?s,?1,?2,,?t}
故R{?1, ?2, 又R{?1, ?2, 显然{?1, ?2, , ?r1,?1, ?2, , ?r1,?1, ?2, , ?s,?1,?2,,?t}
, ?r2}?r1?r2，所以r3?r1?r2。
, ?s,?1,?2,,?t}能线性表示{?1, ?2, , ?s}和{?1, ?2, ?, ?t}。故
r3?r1，且r3?r2?max{r1,r2}?r3。
10． 设A,B同为m?n矩阵，
证明（1）R(A?B)?R(A)?R(B)，
（2）R(A?B)?R(A)?R(B)。
证明：记A???1, ?2, , ?n?，B???1, ?2, , ?n?，则
, ?n??n?
A?B???1??1, ?2??2, 记向量组M???1, ?2, , ?n??n?，A?B???1??1, ?2??2, , ?n?
, ?n?，N???1, ?2, K???1??1, ?2??2, , ?n??n?，L???1??1, ?2??2, , ?n??n?
则R(A)?R(M)，R(B)?R(N)，R(A?B)?R(K)，R(A?B)?R(L) 作向量组H???1, ?2, , ?n,?1, ?2, , ?n?
由向量组秩的关系得R(H)?R(M)?R(N)?R(A)?R(B)
显然向量组H能表示向量组K,L，故R(H)?R(H)R(L)?R(H)，
42
即有R(A?B)?R(A)?R(B)，R(A?B)?R(A)?R(B)
43
11． 设A为m?s矩阵，B为s?p矩阵，证明R(AB)?min{R(A),R(B)}。 （提示：令C?AB，证R(AB)?R(A)，证明方法也是考虑它们的列向量组之间的
关系；再由C?BA，证R(AB)?R(B)）
12． 向量?1, ?2, TTT, ?n线性无关的充分必要条件是
D??1T?1?1T?2?2T?1?2T?2?nT?1?nT?2?1T?n?2T?n?nT?n?0
（提示：令A?(?1, ?2, , ?n)，则D?ATA）
证明： D?ATA?0?ATA?0?AA?0?A?0
??1, ?2, , ?n线性无关
44
13． 选择题
（1）设A是n阶矩阵，且A?0，则A中（ C ）
（A） 必有一列元素全为零； （B） 必有两列元素对应成比例；
（C） 必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D） 任一列向量都是其余向量的线性组合。
（2）已知线性方程组的系数矩阵A是4?5矩阵，且A的行向量组线性无关，则
下列结论正确的是（C ）。
（A）A的列向量组线性无关；
注：A的行向量组线性无关?R(A)?4?A的列向量组线性相关 （B）A的增广矩阵的任意四个列向量线性无关； （C）A的增广矩阵的行向量组线性无关；
注：A的行向量组线性无关?R(A)?4?R(A)?4，又R(A4?6)?4?R(A)?4 （D）A的增广矩阵的列向量组线性无关。
（3）设向量???1??2???s(s?1)，而
,?s????s
?1????1,?2????2, （A）R{?1,?2,（B）R{?1,?2, （C）R{?1,?2,（D）不能确定。 注：容易证明?1,?2,
则下列结论中正确的是（ A ）。
,?s}=R{?1,?2,,?s}>R{?1,?2,,?s} ,?s与?1,?2,,?s等价 （4）若存在矩阵P,Q，使A?PB,B?QA，则（ ） （A）R(A)?R(B)；（B）R(A)>R(B)；（C）R(A) （A） 转置； （B）初等变换； （C）乘以非奇异阵（D）乘以奇异阵。 45