x2y23平面直角坐标系xOy中，椭圆C：2?2?1?a＞b＞0? 的离心率是，抛物线E：
ab2x2?2y的焦点F是C的一个顶点.
（I）求椭圆C的方程；
（II）设P是E上的动点，且位于第一象限，E在点P处的切线l与C交与不同的两点A，B，线段AB的中点为D，直线OD与过P且垂直于x轴的直线交于点M. （i）求证：点M在定直线上;
（ii）直线l与y轴交于点G，记?PFG的面积为S1，?PDM的面积为S2，求及取得最大值时点P的坐标.
S1的最大值S2
【答案】（Ⅰ）x2?4y2?1;（Ⅱ）（i）见解析；（ii）
S19的最大值为，此时点P的坐标S24为(21,) 24
m2m2?m(x?m)，即y?mx?所以直线l的斜率为m，其直线方程为y?. 22
m2（2）由（1）知直线l的方程为y?mx?，
2m2m2)， 令x?0得y??，所以G(0,?22m212m3?m2),F(,0),D(2又P(m,,)， 224m?12(4m2?1)111m(2m2?1)22所以S1?|GF|m?m(m?1)，S2?|PM|?|m?x0|?， 22428(4m?1)S1(2t?1)(t?1)S12(4m2?1)(m2?1)112?????2， t?2m?1所以，令，则?2222StS2tt(2m?1)2
考点：椭圆方程；直线和抛物线的关系；二次函数求最值；运算求解能力.