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开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)， ∴m的取值范围是1?m?2，故选C．
变式2： 解：函数有意义，应有?x2?4?0，解得?2?x?2，
∴ 0??x2?4?4 ? 0??x?4?2 ? 0?3?x?4?6， ∴ M=6，m=0，故M + m=6．
22a??变式3： 解：函数f?x?的表达式可化为f?x??4?x????2?2a?． 2??① 当0?2a?2，即0?a?4时，f?x?有最小值2?2a，依题意应有2?2a?3，解得21a??，这个值与0?a?4相矛盾．
2a22②当?0，即a?0时，f?0??a?2a?2是最小值，依题意应有a?2a?2?3，解得
2a?1?2，又∵a?0，∴a?1?2为所求．
③当
a?2，即a?4时，f?2??16?8a?a2?2a?2是最小值， 22依题意应有16?8a?a?2a?2?3，解得a?5?10，又∵a?4，∴a?5?10为所
求．
综上所述，a?1?2或a?5?10． 5．（人教A版第43页A组第6题）奇偶性
222变式1： 解：函数f?x???m?1?x?m?1x?1是偶函数 ? m?1?0 ? m??1，
??当m?1时，f?x??1是常数；当m??1时，f?x???2x?1，在区间???,0上f?x?是
2?增函数，故选D．
变式2：解：根据题意可知应有a?1?2a?0且b?0，即a?1且b?0，∴点?a,b?的坐3标是?,0?．
2变式3： 解：（I）当a?0时，函数f(?x)?(?x)?|?x|?1?f(x)，此时，f(x)为偶函
?1?3??
数；
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当a?0时，f(a)?a2?1，f(?a)?a2?2|a|?1，
f(a)?f(?a)，f(a)??f(?a)，此时f(x)既不是奇函数，也不是偶函数．
（II）（i）当x?a时，f(x)?x2?x?a?1?(x?)2?a?若a?
123， 41
，则函数f(x)在(??,a]上单调递减，从而函数f(x)在(??,a]上的最小值2
为f(a)?a2?1．
1131，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f()??a，且f()?f(a)． 22421232（ii）当x?a时，函数f(x)?x?x?a?1?(x?)?a?，
241131若a??，则函数f(x)在(??,a]上的最小值为f(?)??a，且f(?)?f(a)，
22421若a??，则函数f(x)在[a,??)上单调递增，从而函数f(x)在[a,??)上的最小值
2若a?
为f(a)?a2?1．
综上，当a??13时，函数f(x)的最小值为?a； 24112当??a?时，函数f(x)的最小值为a?1；
2213当a?时，函数f(x)的最小值为?a．
246．（北师大版第64页A组第9题）图像变换
变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，
由图像可得单调区间．
2当x?0时，y??x?2x?3???x?1??4， 2当x?0时，y??x?2x?3???x?1??4．
22y
作出函数图像，由图像可得单调区间．
在???,?1?和?0,1上，函数是增函数；在?1,0和?1,???上，函数是减函数．
变式2： 解：若a?1,b?1,则f(x)?|x?2x?1|?x?2x?1，显然不是偶函数，所以①是不
22O x
???3eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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正确的；
若a??1,b??4,则f(x)?|x2?2x?4|，满足f(0)?f(2)，但f(x)的图像不关于直线x=1对称，所以②是不正确的；
若a2?b?0，则f(x)?|x2?2ax?b|?x2?2ax?b，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是x?a，∴f(x)在区间[a，＋∞)上是增函数，即③是正确的；
显然函数f(x)?|x?2ax?b|?x?R?没有最大值，所以④是不正确的．
2?x2?bx?c,x?0?变式3： 解：f(x)?x|x|?bx?c??，
2???x?bx?c,x?0(1)当c=0时，f(x)?xx?bx，满足f(?x)??f?x?，是奇函数，所以①是正确的；
2??x?c,x?0(2)当b=0，c>0时，f(x)?xx?c??，
2???x?c,x?0?x2?c?0??x2?c?0方程f(x)?0即? 或? ，
x?0x?0???x2?c?0??x2?c?0显然方程?无解；方程?的唯一解是x??c ，所以② 是正确的；
x?0x?0??(3)设?x0,y0?是函数f(x)?x|x|?bx?c图像上的任一点，应有y0?x0|x0|?bx0?c， 而该点关于（0，c）对称的点是??x0,2c?y0?，代入检验2c?y0??x0|x0|?bx0?c即
?y0??x0|x0|?bx0?c，也即y0?x0|x|0?bx?0c，所以??x0,2c?y0?也是函数
f(x)?x|x?|图像上的点，所以③是正确的； b?xc(4)若b??1,c?0，则f(x)?x|x|?x，显然方程x|x|?x?0有三个根，所以④ 是不正确的．
7．（北师大版第54页A组第6题）值域
变式1： 解：作出函数f(x)??2x?6x??2?x?2?的图象，容易发现在??2,?上是增
22??3??函数，在?,2?上是减函数，求出f(?2)??20，f(2)?4，f()??3?2??
329，注意到函数定义不包23eud教育网 http://www.3edu.net 教学资源集散地。可能是最大的免费教育资源网！
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含x??2，所以函数值域是??20,??9?． ?2?2
变式2：解：∵ y= cos2x+sinx=－2sinx+sinx+1，令t= sinx ? [－1,1]，
则y=－2t2+t+1，其中t? [－1,1]，
99
∴y ? [－2, ]，即原函数的值域是[－2, ]．
88变式3： 解：(I) ∵ f (1 + x) = f (1－x)，
b
∴ － = 1，
2a
又方程 f (x) = x 有等根 ? a x 2 + (b－1) x = 0 有等根， 1 2
∴ △= (b－1) = 0 ? b = 1 ? a = － ，
21
∴ f (x) = － x 2 + x．
2
(II) ∵ f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1， 1? 当 m≥1 时，f (x) 在 [m,n] 上是减函数， 1 2
∴ 3m = f (x)min = f (n) = － n + n (*)，
2
1 2
3n = f (x)max = f (m) = － m + m，
2
1
两式相减得：3 (m－n) = － (n 2－m 2) + (n－m)，
2∵ 1≤m < n，上式除以 m－n 得：m + n = 8， 代入 (*) 化简得：n 2－8n + 48 = 0 无实数解． 2? 当 n≤1 时，f (x) 在 [m,n] 上是增函数，
1 2
∴ 3m = f (x)min = f (m) = － m + m，
2
1
3n = f (x)max = f (n) = － n 2 + n，
2∴ m = －4，n = 0．
3? 当 m≤1≤n 时，对称轴 x = 1 ? [m,n]，
11
∴ 3n = f (x)max = f (1) = ? n = 与 n≥1 矛盾．
26综合上述知，存在 m = －4、n = 0 满足条件． 8．（北师大版第54页B组第5题）恒成立问题
变式1： 解：(I) 函数 f (x) 的定义域为 R，即不等式a x 2 + 2x + 1 > 0 的解集为 R，
? a > 0
∴应有 ? ? a > 1，
? △= 4－4a < 0
∴ 实数 a 的取值范围是(1,+?) ．
(II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x + 2x + 1 能够取 (0,+?) 的所有值．
1? 当 a = 0 时，a x + 2x + 1 = 2x + 1满足要求； 2? 当 a ≠ 0 时，应有?
? a > 0
? 0 < a≤1．
? △= 4－4a ≥0
2
2
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∴ 实数 a 的取值范围是[0,1] ．
变式2： 解法一：(转化为最值)
f(x)?2在??2,2?上恒成立，即f(x)?x2?ax?1?a?0在??2,2?上恒成立．
⑴??a?4?1?a??0， ??2?22?a??2?22；
2???a2?4(1?a)?0?f(2)?0??⑵?f(?2)?0，??5?a??22?2． ???a?2或?a??2??22综上所述?5?a?22?2． 解法二：（运用根的分布） ⑴当?a5??2，即a?4时，应有g(a)?f(?2)?7?3a?2， 即a?，?a不存在； 23aa2a?a?3?2， ⑵当?2???2，即?4?a?4时，应有g(a)?f(?)??224即－22?2?a?22?2，??4?a?22?2； ⑶当?a?2，即a??4时，应有g(a)?f(2)?7?a?2，即a??5 ， ??5?a??4 2综上所述?5?a?22?2．
变式3： 证明：(I) 依题意，f (sin ) = f (1)≥0，f (2 + cos ?) = f (1)≤0，
2
∴ f (1) = 0 ? 1 + b + c = 0 ? b + c = －1， (II) 由 (I) 得： f (x) = x 2－(c + 1) x + c (*)
∵ f (2 + cos ? )≤0 ? (2 + cos ? )－(c + 1) (2 + cos ? ) + c≤0
? (1 + cos ? ) [c－(2 + cos ? )]≥0，对任意 ? 成立． ∵ 1 + cos ? ≥0 ? c≥2 + cos ? ， ∴ c≥(2 + cos ? )max = 3．
(III) 由 (*) 得：f (sin ? ) = sin 2?－(c + 1) sin ? + c，
设 t = sin ? ，则g(t) = f (sin ? ) = t 2－(c + 1) t + c，－1≤t≤1， 这是一开口向上的抛物线，对称轴为 t = 3 + 1
由 (II) 知：t≥ = 2，
2∴ g(t) 在 [－1,1] 上为减函数．
∴ g(t)max = g(－1) = 1 + (c + 1) + c = 2c + 2 = 8， ∴ c = 3
c + 1
， 2
2
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