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概率与统计解答题精选
1. 某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不
再重复，试求下列事件的概率：
（1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话.
解：设A1={第i次拨号接通电话}，i=1，2，3. （1）第3次才接通电话可表示为A1A2A3于是所求概率为P(A1A2A3)?9?8?1?1;
109810（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：A1+A1A2?A1A2A3于是所求概率为 P（A1+A1A2?A1A2A3）=P(A1)+P(A1A2)+P(A1A2A3)=1?9?1?9?8?1?3.
101091098102. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一
事件是相互独立的，并且概率都是.
（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P=(1?1)(1?1)?1?4.
33327131 （2）易知?~B(6,). ∴E??6??2. D??6?1?(1?1)?4.
333333. （理科）摇奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，
现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望
解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，
当摇出的3个小球均标有数字2时，ξ=6；
当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，ξ=9； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，ξ=12。
31221所以，P(??6)?C8?7 P(??9)?C8C2?7 P(??12)?C8C2?1??9分
3331515C10C1015C101 Eξ=6×7?9?7?12?1?39（元）
1515155 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是
39元 ????????12分 54. 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，
数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中
（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少
解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为A、B、C，则P（A）=0.9
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P（B）=0.8，P（C）=0.85 ??????????2分 （Ⅰ）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)
=[1－P（A）]·[1－P（B）]·[1－P（C）] =（1－0.9）×（1－0.8）×（1－0.85）=0.003
答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003??????6分 （Ⅱ）P（A?B?C?A?B?C?A?B?C） = P（A?B?C)?P(A?B?C)?p(A?B?C)
=P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(A)?P(B)?P(C)
=[1－P（A）]·P（B）·P（C）+P（A）·[1－P（B）]·P（C）+P（A）·P（B）·[1
－P（C）]
=（1－0.9）×0.8×0.85+0.9×（1－0.8）×0.85+0.9×0.8×（1－0.85）
=0.329
答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329????????12分
5. 如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，
2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.
（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.
求线路信息畅通的概率；
（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
111?C2?C21解：（I）?1?1?4?1?2?3?6,?P(x?6)? ?34C6
51?2043?1?3?4?2?2?4?8,?P(x?8)?20
21?2?3?4?9,?P(x?9)??201011313?P(x?6)?????4420104?1?2?4?2?2?3?7,?P(x?7)? （II）?1?1?2?4,P(x?4)?
(4分)(6分)13,?1?1?3?1?2?2?5,P(x?5)?(8分) 1020 ∴线路通过信息量的数学期望 ?4?131131?5??6??7??8??9??6.5 （11分） 1020442010第 2 页 共 6 页
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3. （II）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分） 41336. 三个元件T1、T2、T3正常工作的概率分别为,,,将它们中某两个元件并联后
244答：（I）线路信息畅通的概率是
再和第三元件串联接入电路.
（Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？
（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由.
解：记“三个元件T1、T2、T3正常工作”分别为事件A1、A2、A3，则
P(A1)?133,P(A2)?,P(A3)?. 244（Ⅰ）不发生故障的事件为（A2+A3）A1.（2分）
∴不发生故障的概率为
P1?P[(A2?A3)A1]?P(A1?A3)?P(A1)(4分)?[1?P(A2)?P(A3)]?P(A1)11115?[1??]??44232（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大.证明如下： 图1中发生故障事件为（A1+A2）·A3 ∴不发生故障概率为
P2?P[(A1?A2)A3]?P(A1?A2)?P(A3)?[1?P(A1)?P(A2)]P(A3)?21 32?P2?P分) 1(11图2不发生故障事件为（A1+A3）·A2，同理不发生故障概率为P3=P2>P1（12分） 说明：漏掉图1或图2中之一扣1分
7. 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们 的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率. 解：设事件A=“从甲机床抽得的一件是废品”；B=“从乙机床抽得的一件是废品”. 则P（A）=0.05, P(B)=0.1, （1）至少有一件废品的概率
P(A?B)?1?P(A?B)(2分)?1?P(A)?P(B)?1?0.95?0.90?0.145(7分)
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（2）至多有一件废品的概率
P?P(A?B?A?B?A?B)?0.05?0.9?0.95?0.1?0.95?0.9?0.995(12分)
8. （理科）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被
甲或乙解出的概率为0.92.
（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数?的数学期望和方差
解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为A、B. 设甲独立解出此题的概率为P1，乙为P2.（2分） 则P（A）=P1=0.6,P(B)=P2
P(A?B)?1?P(A?B)?1?(1?P1)(1?P2)?P1?P2?P1P2?0.92?0.6?P2?0.6P2?0.92则0.4P2?0.32即P2?0.8(7分)
(2)P(??0)?P(A)?P(B)?0.4?0.2?0.08P(??1)?P(A)P(B)?P(A)P(B)?0.6?0.2?0.4?0.8?0.44P(??2)?P(A)?P(B)?0.6?0.8?0.48?的概率分布为:? P 0 0.08 1 0.44 2 0.48 E??0?0.08?1?0.44?2?0.48?0.44?0.96?1.4D??(0?1.4)2?0.08?(1?1.4)2?0.44?(2?1.4)2?0.48
?0.1568?0.0704?0.1728?0.4或利用D??E(?2)?(E?)2?2.36?1.96?0.4(12分)9. (理科考生做) 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E发生，该公司
要赔偿a元．设在一年内E发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？
解：设保险公司要求顾客交x元保险金，若以? 表示公司每年的收益额，则?是一个随机变量，其分布列为：
x x－a ? P p 1－p 6分
因此，公司每年收益的期望值为E? ＝x(1－p)＋(x－a)·p＝x－ap． 故可得x＝(0.1＋p)a．
8分 10分 12分
为使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需E? ＝0.1a，即x－ap＝0.1a， 即顾客交的保险金为 (0.1＋p)a时，可使公司期望获益10%a．
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10. 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能
出厂．已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2． （1）求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；
(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)．
1解：(1)这批食品不能出厂的概率是： P＝1－0.85－C5×0.84×0.2≈0.263． 4分
(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：
1 P1＝C4×0.2×0.83×0.8
8分
五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：
1 P2＝C4×0.2×0.83×0.2
10分
由互斥事件有一个发生的概率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产
1品是否出厂的概率是：P＝P1＋P2＝C4×0.2×0.83＝0.4096．
12分
11. 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛. 比
赛规则是：
①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛；
②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛. 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.
（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？ （Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？
2解：（I）参加单打的队员有A3种方法.
12 参加双打的队员有C2种方法.????????????????????2分
21 所以，高三（1）班出场阵容共有A3?C2?12（种）?????????5分
1 （II）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两
盘胜，???????????????????????????7分 所以，连胜两盘的概率为
111113?????.????????????10分 22222812. 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的
概率.
(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球.
解： （Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件A、B，则
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1C52?C323C52?C33 P(A)? ?,P(B)??4477C8C8 ∵A、B为两个互斥事件 ∴P（A+B）=P（A）+P（B）= 即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为 （Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C，则
6 76????6分 7C541 P（C）=4?至少摸出一个黑球为事件C的对立事件
C814 其概率为1?113???????12分 14141. 313. 一名学生骑自行车上学，从他的家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各交通
岗遇到红灯的事件是独立的，并且概率都是
（I）求这名学生首次遇到红灯前，已经过了两个交通岗的概率；
（II）求这名学生在途中遇到红灯数?的期望与方差.
解：（I）P?(1?)(1?)114?????????????????4分 33271（II）依题意?~B(6,),????????????????????7分
31?E??6??2???????????????????????9分
3114D??6??(1?)?????????????????????12分
33314. 一出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一
事件是相互独立的，并且概率都是.
1313 （1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；
（2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差。 解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以 P=(1?1)(1?1)?1?4.
3332711 （2）易知?~B(6,). ∴E??6??2. D??6?1?(1?1)?4.
33333
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