（1）k阶子式：设D?aijn,在D中取定某k行k列,位于这些行列
相交处的元素构成的k阶行列式,叫做D的一个k阶子式.
（2）余子式：设D?aijn(n?1),将元素aij所在的行、所在的列
的元素划掉后余下的n?1阶子式,叫做元素aij的余子式,记为Mij.
a11a12?a1,j?1a1,j?1?a1na21a22?a2,j?1a2,j?1?a2n?????Mij?ai?1,1ai?1,2?ai?1,j?1ai?1,j?1?ai?1,n ai?1,1ai?1,2?ai?1,j?1ai?1,j?1?ai?1,n?????an1an2?an,j?1an,j?1?ann（3）代数余子式：设D?aijn(n?1),元素aij的余子式Mij附以
符号(?1)i?j后,叫做元素a即Ai?jij的代数余子式,记为Aij.ij=(?1)Mij.
三、行列式展开式定理 定理3 设D?aijn,则D等于它的任意一行（列）的所有元素与各
自对应的代数余子式的乘积的和.
第11页 即D??ai1Ai1?ai2Ai2???a?inAina (i,j?1,2,?,n).
?1jA1j?a2jA2j???anjAnj1234555533例5 已知A?32542, 2221146523求(1)A51?2A52?3A55?4A54?5A55,(2)A31?A32?A33A34?A35.
解：由行列式的性质可知
1234555533(1) A51?2A52?3A55?4A54?5A55=32542?022211123451234555533(2) 5A31+5A32+5A33+3A34+3A35 =55533?0
2221146523 第12页
及
12345555332A31+2A32+A33+A34+A35 =22211?0 2221146523解出A31+A32+A33=0,A34+A35 =0 .
§3行列式的性质
设行列式
a11a12?a1na11a21?an1D?a21a22?a2n DT?a12a22?an2??????
an1an2?anna1na2n?ann行列式DT叫做行列式D的转置行列式. 性质1 行列式与它的转置行列式相等,即D?DT.
证明 用数用归纳法证明,对于二阶行列式性质1显然成立,假设对于
n-1阶行列式性质1成立,把n阶行列式Ｄ按第一行展开,依据归纳法假设可得
nnD??(?1)1?ja1?jT1jM1j??(?1)a1jM1j?DT
j?1j?1 第13页 右端恰为DT按第一列的展开式.
性质2 互换行列式的两行（列）,行列式变号.
证：先证明邻行互换时行列式变号,设D1是由n阶行列式D的第i行与第i?1行互换得到的行列式:
??ai?1,1?ai?1,nD1?ai?1,1?ai?1,ni行
ai,1?ai,ni?1行??把D1按第i?1行展开
nnD?(?1)i?1?j1?j1?aijMij???(?1)aijMij??D
j?1j?1设D2是由n阶行列式D的第i行与第j行互换得到的行列式,不妨设i?j,于是D2可看成D的第i行依次经过j?i个邻行互换后到第j行位置,而原第j行又依次经过j?i?1邻行互换后到第i行位置,因此
Dj?i?1)2?(?1)(j?i)?(D??D
推论：如果行列式有两行（列）完全相同,那么此行列式为零.
第14页
性质3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k,等于用数k乘此行列式.即
a11a12?a1na11a12?a1n??????kai1kai2?kain?kai1ai2?ain. ??????an1an2?annan1an2?ann第i行(或列)乘以k,记为?i?k(或ci?k).
推论：行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.
性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式为零. 性质5：若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和.
a11?a1n??D?ai1?ai?1?ain?a?in ??an1?ann那么D等于下列两个行列式之和
第15页 a11?a1na11?a1n????D?ai1?ain?ai?1?a?in ????an1?annan1?ann若n阶行列式每个元素都表示成是两数之和，则它可分解成2n个行列式.如
a?xb?yb?yb?yc?zd?w?acd?w?xzd?w?ab?ay?xb?xycdcwzdzw
性质6 把行列式的某一行（列）各元素乘以同一数后加到另一行（列）对应元素上去,行列式的值不变,即i?j时
a11?a1na11?a1n????ai1?kaj1?ain?kajn?ai1?ain ????an1?annan1?ann性质7 行列式任一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即
第16页
ai1Aj1?ai2Aj2???ainAjn?0(i?j)
或
a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0(i?j)
§4行列式的计算
在计算三阶以上的行列式时,一般要注意观察其结构特点,利用行列式的有关性质,结合使用定义法、数学归纳法、递推法、换元法、析因子法、加边法等方法简化计算.
一、直接利用行列式定义的证明 例6 证明行列式
a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25D?000a34a35?0 000a44a45000a54a55证 按行列式定义,每一项都是取自不同行不同列的5个元素的乘积,在第一列中只有两个非零元素a11和a21,当第一列取元素a11,第二列只能取a22,而第三列所能够取的元素只有零元素,故这一项为零.同理,当第一
第17页 列取a21时,这一项也为零.行列式其它项也都为零因子,所以D?0.
注 (1) 用n阶行列式的定义直接计算行列式是相当麻烦的,因此仅当一个行列式的每一行（列）上n个元素中有少数元素不为零,才用定义计算.其关键是处理好每一项前的符号,求出逆序数.一般方法是按行序排好,计算列排列的逆序数.
(2) 结论：在一个n阶行列式中,等于零的元素如果比(n2?n)还多,
那么这个n阶行列式必为零.
二、利用行列式的性质化成三角形行列式计算
abb?bbab?b例7 计算n阶行列式D?bba?b. ?????bbb?a解 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等,根据行列式的性质,从第2列开始到第n列都加到第1列上得
a?(n?1)bbb?ba?(n?1)bab?bD?a?(n?1)bba?b?????a?(n?1)bbb?a 第18页
1bb?b1ab?b?[a?(n?1)b]1ba?b ?????1bb?a1bb?b0a?b0?0?[a?(n?1)b]0ba?b?0
?????000?a?b?[a?(n?1)b](a?b)n?1
注 行列式每行（列）元素的和相等时,可将行列式的各行（列）加至第一行（列）,利用行列式性质提取公因子后化简计算.
三、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理,化成较低行列式的计算
例8 计算n阶行列式
123?n?1n1?10?00D02?2?00n???????.
000??(n?2)0000?n?1?(n?1) 第19页 解 注意到第2,3,?,n行的元素之和都是零,将第2,3,?,n列都加到第1列上去,然后按第1列展开,得：
n(n?1)223?n?1n0?10?00Dn?02?2?00
??????000??(n?2)0000?n?1?(n?1)?100?002?20?00?n(n?1)03?3?002??????
000??(n?2)0000?n?1?(n?1)?1?12(?1)n(n?1)!
四、递推公式法：应用行列式的性质,把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较低阶行列式的线性关系式,再根据此关系式递推得n阶行列式的值.
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