1123例17 计算行列式 D?12?x2232315
2319?x2解 D可以看作关于x的多项式f(x).观察D的一次因式, 当x??1时,
1123f(?1)?11232315?0
2318当x??2时,
1123f(?2)?1?2232315?0
2315可见f(x)有因子：x?1,x?1,x?2,x?2
另外,从行列式定义可知,D中含有x的最高次数为4. 故D?C(x?1)(x?1)(x?2)(x?2) 令x?0,直接计算得D??12,于是C??3
第31页 故D??3(x?1)(x?1)(x?2)(x?2).
xa1a2?an?21a1xa2?an?11例18 计算行列式 D?a1a2x?an?11?????
a1a2a3?x1a1a2a3?an1解 观察行列式的特点,当x取a1,a2,?,an时,行列式都有两行相同,且此时的行列式值为零.故可将行列式看作关于x的多项式,且此多项式
有因子x?a1,x?a2,?,x?an.
故可设D?C(x?a1)(x?a2)?(x?an)
D中最高项为xn,系数为1.故C?1
即行列式为D?(x?a1)(x?a2)?(x?an).
以上方法,前三种方法是最基本的,需要指出的是：行列式的计算方法往往不是唯一的,有时需要多种方法交叉使用.由于行列式的计算方法很多,但具体到一个题目用什么方法去解往往不是一件容易决定的事情,必须首先观察行列式的具体特征,根据行列式的具体特征选择方法.
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§5 克莱姆（Cramer）法则
本节作为行列式的应用,完满地解决了含n个未知量n个方程的线性方程组,在其系数行列式不为零时,其解的存在性、个数及求解（公式）问题；理论完整且重要,定理的证明可按消元法的思想运用行列式的依行依列展开公式为之.
设给定一个含n个未知量n个方程的线性方程组： ?a11x1?a12x2???a1nxn?b?1?a?21x1?a22x2???a2nxn?b2 （1???） ??an1x1?an2x2???annxn?bna11a12??a1n?????其系数构成的行列式D?ai1ai2??ain叫做方程组（1）?????an1an2??ann的(系数)行列式.
克莱姆（Cramer法则）对线性方程组(1),当它的(系数)行列式D?0时有且仅有一个解:x1D21?DD,x2?D,?,xDnn?D.其中Dj是把D的
第j列的元素换以方程组的常数项b1,b2?,bn而得到的n阶行列式.
推论 含有n个未知数n个方程的齐次线性方程组
第33页 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a?21x1?a22x2???a2nxn?0 （2） ?????an1x1?an2x2???annxn?0当它的(系数)行列式D?0时仅有零解. 例19求一个一元二次多项式f(x),使满足
f(1)?0,f(2)?3,f(?3)?28.
解：设所求多项式为f(x)?ax2?bx?c, 由条件f(1)?0,f(2)?3,f(?3)?28. ?a?b?c?0可知??4a?2b?c?3
??9a?3b?c?28111011A?421??20,D1?321??40,9?3128?31101110D2?431?60,D3?423??20 92819?328由克莱姆法则,得a?2,b?-3,c?1,知f(x)?2x2-3x?1.
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