第三部分 正弦稳态交流电路
一、正弦量的相量表示
i?141.4sin(314t?30o)Au?311.1cos(314t?60o)V，试写出电流和电压的有效值相量。
例1 已知
解：首先统一转换成正弦函数或统一转换成余弦函数
以余弦函数表示正弦量，则I?100??60A, U?220??60oV
o ? ???2?30?A，电路频率f?50Hz，则 例2 若某正弦电流有效值相量I以余弦函数表示正弦量，则该电流i的瞬时值表达式为i?22cos(314t?30?)A；
二、R、L、C元件的相量模型 (1) 电阻元件
uR,iRuRiR+j0iR+RuR-?t?u??i?IR+R?UR-UR1?I6.R5?u??i+10%?(a)时域模型(b)波形图(c)相量模型(d)相量图图5.1.1 正弦稳态交流电路的电阻元件
?UR?RIR??RI?uR?R?iR URR ????i?u
（2）电感元件
uLuL,iLiLiL+LuL-?UL+j0?2?i?t?IL+j?L?UL-?u1?IL166.?u5.5?i%0%+1(a)时域模型(b)波形图(c)相量模型图5.1.2 正弦稳态交流电路的电感元件(d)相量图
di??j?LI?uL?LL ULLdt （3）电容元件
uC,iC??UL??LIL??????ui?2 ?iCCuC-uC1j?C?UC-iC+0?i?u?2?t?IC+?16IC16..5?+15i%?u0%?UC+j(a)时域模型(b)波形图(c)相量模型(d)相量图图5.1.3 正弦稳态交流电路的电容元件
1?U?du?C?CIC??1I???j1I?iC?CC U?CCCdtj?C?C ??u??i??2 ?例3 已知电容C=1μF，两端电压u?102sin(314t?30?)V，求通过C的电流瞬时值表达式。若?变成628rad/s，问结果如何？
??10??30?V 解：由已知得 U电容的容抗XC为
XC?11??3183? ?C314?10?60
由电容元件VCR的相量形式得
?U10??30?10??30??I????3.14?60?mA ?jXC?j31833183??90?则电流瞬时值为
i?3.142sin(314t?60o)mA
若?变成628rad/s，?增加一倍，导致容抗减小一倍，则
??10??30??20??30??6.28?60?mA I?j3183/23183??90?故电流变为
i?6.282sin(628t?60o)mA
可以看出，高频电流更容易通过电容。
例4 已知一线圈电感L?1H，电阻可以忽略，设流过线圈的电流i?2sin(314t?60?)A，(1)试用相量法求通过线圈的电压u；(2)若电流频率为f?5kHz时，重新计算线圈端电压u。
三、阻抗的概念和计算
端口电压相量和电流相量之比为该无源一端口网络的入端等效阻抗，即
?U??UUuZ?????u??i?Z?? ?I??iII Z?U I???u??i
阻抗模是一端口网络的电压有效值和电流有效值之比，阻抗角是电压和电流的相位差。
?I+?I+无源一端口网络N?I+RZ?U-?U-?U-jX(a)无源一端口网络(b)等效阻抗(c)阻抗的电阻、电抗分量1ZX6.?5R(d)阻抗三角形%图 无源一端口网络的阻抗
例5 已知图示电路，?=10rad/s。试求电路的输入阻抗Z。
R12ΩZC1FL2HR21Ω
解：由串并联关系可得输入阻抗
11j?C Z?R1?//(R2?j?L)?R1?1j?CR2?j?L?j?C(R2?j?L)当?=10rad/s时
j?L?j20?，
(1?j20)11?? j?Cj101j10j40?397399??5.8?Z?2????2??2.9??2?j0.1?，为容性阻抗
1j10?199199??2.9?1?j20?j10对于端口来说，此网络相当于一个2Ω的电阻与一个容抗XC=0.1Ω（相当于C=1F）的电容相串联的电路。改变?、R1、R2、L及C都可以改变网络的等效参数。
例6求图示电路的等效阻抗，并说明阻抗性质， ?＝105rad/s 。
解：XL?? L?105?1?10?3?100?
XC??11??5??100Ω ?6?C10?0.1?10Z?R1?jXL(R2?jXC)j100?(100?j100)?30?jXL?R2?jXC100，感性阻抗
?130?j100Ω
四、简单正弦交流电路的分析
例7 正弦稳态电路如图(a)所示，已知u?1202sin(1000t)V，R=15Ω，L=30mH，C=83.3μF。试求电流i，并画相量图。
i++?I?IR?ILj?L?IC?IC??I?ICL?Iu-RLC?U-R1j?C36.9??IL?IR(c)?U(a)(b)
1画电路的相量模型如图(b)所示。其中 解：○
??120?0?V Uj?L?j30? 1??j12? j?C2方法一：先求电路的等效阻抗，再根据欧姆定律的相量形式求电流相量。 ○
电路复阻抗为
Z?111??j?CRj?L?6060??12??36.9??4?j35?36.9?
由欧姆定律的相量形式得
???U?120?0??10?36.9?A IZ12??36.9?方法二：先由R、L、C元件VCR的相量形式求各支路电流相量，再根据KCL的相量形式求得总支路电流相量。
由元件VCR得各支路电流相量为
?120?0?U?IR???8?0??8A R15?U120?0??IL???4??90???j4Aj?Lj30
??j?CU??120?0??10?90??j10A Ic?j12由KCL的相量形式，得
??I??I??I??8?j4?j10?8?j6?10?36.9?A IRLC3最后将相量转换为正弦量得 ○
i?102sin(1000t?36.9?)A
??I??I??I?这一关系。 各电压、电流的相量图如图 (c)所示，反映了IRCL例8 已知 u(t)?1202cos(5t),运用相量法求:i(t)
解：
??120?00 UjXL?j4?5?j20?
jXC??j1??j10Ω
5?0.02?U??UU???? I?IR?IL?IC???RjXLjXC?111?0?120????15j20j10???8?j6?j12?8?j6?10?36.9A
?? i(t)?102cos(5t?36.90)A
例9 图示电路中正弦电流的频率为50Hz时，电压表和电流表的读数分别为100V和15A；当频率为100Hz时，读数为100V和10A。试求电阻R和电感L。 AR uSLV
图 题6.5
例10 图为三表法测量负载等效阻抗的电路。现已知电压表、电流表、功率表读数分别为72V、10A和576W，各表均为理想仪表，求感性负载等效阻抗Z。再设电路角频率为?等效电感。
?314 rad/s，求负载的等效电阻和
R=5.76,
??U?AVW感性负载Z?L?4.32,L=1.38mH
例11 下图为正弦稳态电路的相量模型，求：
(1) 求入端等效阻抗Zab,并说明阻抗性质。
(2) 已知电压表V的读数为30V，求电流表A的读数，V1的读数，V2的读数。 (3) 求电路的功率因数λ。
(4) 求电路有功功率P及无功功率Q。
1）
Zab?3?j4容性
??30?0?设U
? 则I??U?6?53.1?Zab
U1?3I?18V U?4I?24V2
（3）
3??cos??
5
（4）
P?UIcos??108W
Q?UIsin???144var
其它可参考例9-2，例9-5，9-1，9-5，9-8，9-10