院 校： 物理与电子科学学院 班 级： 0801 班 姓 名：
目 录
1. 引言……………………………………………………………………………… 2. 理论推导………………………………………………………………………… 2.1傅里叶级数 …………………………………………………………………… 2.2傅里叶积分及傅里叶变换 …………………………………………………… 2.3傅里叶积分、傅里叶变换的应用 …………………………………………… 2.3.1对无限长的细杆导热问题的研究 ………………………………………… 2.3.2对长度为l的细杆导热问题的研究………………………………………… 2.3.3波动方程的定解条件 ……………………………………………………… 3. matlab模拟结果………………………………………………………………… 4. 总结……………………………………………………………………………… 5. 参考文献…………………………………………………………………………
傅里叶积分、傅里叶变换及其应用的matlab实现
摘要：根据傅里叶积分、傅里叶变换理论，计算了若干例题，并利用此理论模拟了无限长细竿、有限长细竿的导热问题及波动方程的定解条件问题，做出了细竿导热情况的图像。
关键词：傅里叶积分 傅里叶变换 热传导 定解问题 1. 引言
计算物理学是以计算机及计算机技术为工具和手段，运用计算数学的方法，解决复杂问题的一门学科。傅里叶积分及傅里叶变换在物理学中有着重要的应用，而其运算相对繁琐，利用计算机技术可以方便地帮助我们解决这一问题，大大节省时间，提高研究效率。
傅里叶积分及傅里叶变换作为重要的计算方法被应用在物理学中的各个领域。如量子力学、电动力学等等。
我们选择用matlab解决傅里叶变换的计算问题；绘制出有限长和无限长细竿热传导温度分布图像，并对其作深入分析；解决波动方程定解条件的问题。
2.理论推导
2.1傅里叶级数
若函数
f(x)以2l为周期，即
f(x?2l)?f(x)
则，将f(x)展开为级数
f(x)?a0??(akcosk?1?k?xk?x
?bksin)ll其中
ak??l?k1l?lf(?)cosk???2(k?0) d? (?k?)?l?1(k?0)bk?
1lk??f(?)sind? l??ll1
若f(x)是定义在(0,l)上的非周期函数，则可以采取延拓的方法，使其成为某种周期函数g(x)，而在(0,l)上，g(x)?f(x)。然后再对g(x)作傅里叶级数展开，使级数和在区间(0,l)上代表f(x)。 2.2傅里叶积分及傅里叶变换
傅里叶积分实际上是把定义在(??,?)上的非周期函数进行积分形式的展开。即把f(x)展开为如下形式：
f(x)??A(?)cos?xd???B(?)sin?xd?
00??其中
1??A(?)?f(?)cos??d???????? ?1?B(?)?f(?)sin??d???????第一个式子是傅里叶积分表达式，第二组式子为傅里叶变换式。
把傅里叶积分写成复数形式就为
f(x)??F(?)ed?
???i?x傅里叶变换为
1F(?)2?????f(x)[e]?dx
i?x下面举两道例题。
例1 求矩形函数f(t)?hrect(t2T)的傅里叶变换，其中
1?1(|x|?)??2
rectx???0(|x|?1)??2解
F(?)?1T?i?xhdx e??T2?hi?i?xT? 2??e?T2
??例2 求f(x)?x?解
hi?i?Ti?T(e?e) 2??hsin?T?2?
x的傅里叶变换，其中，x定义在(??,?)上。
1?2?i?xF(?)?(x?)dx xe???2?1?1?2?i?x?i?x?xdx?dx exe??????2?2?ix?i?x?ix?i?x?i??i?xi??i?x??xdx ??dxeeee??????????2????2??2??2??x1??i? ?i?xcos???isin???sin????dx2e2???e2??????????i??i?cos???i??sin???2?sin???22cos???23sin?? ????2.3傅里叶积分、傅里叶变换的应用
基于maltab在数学物理方法中利用分离变数（傅里叶级数）法求解一维（线性）热传导方程问题的研究，在一维细杆热传导问题的研究将细杆分为有限长度与无限长度两方面来求解问题。
2.3.1对无限长的细杆导热问题的研究 无限长细杆的热传导的定解问题：
细杆上任意一点的温度是时间t和位置x的函数u(x,t) 泛定方程
ut?a?uxx?0
2初始条件 u?x,t?0???(x)
x??????2利用傅里叶级数求得细杆上任意一点的温度为：
???1?u(x,t)???(?)???2a?t??若取初始温度分布?(x)设为
e4??2a?t?d(?)
?? 3