?1,(0?x?1)?(x)?? 一个高度为一得矩形脉冲波；
0,(x?1,x?0)?则得到
1u?xt???12a0e?t??x???2?22a?td???
2.3.2对长度为l的细杆导热问题的研究
讨论有限长度l的细杆，在一端为第一类齐次边界条件，另一端为第二类边界条件下的热传导问题的研究。
有限长细杆热传导定解问题就是将上述无限细杆的长度有限化，对l取一确定有限值：
泛定方程 ??a2??0
txx??(0,t)?0边界条件 ?
?(l,t)?0?初始条件 ?(x,t?0)??(x)
?1,(10?x?11)时，解得
0,(x?11,x?10)??n?a400222当l?20，a?10，?(x)???u(x,t)??2n?11n?[cos?cos]e220n?1n?
tsinn?x 20将上述问题具体化为，初始时刻杆的一端温度为零度，另一端温度为的温度均匀（?(x)?0?0,杆上
，零度温度一端保持温度不变（?(0,t)?0），?x/l）
另一端跟外界温度绝热（?(l,t)?0），这细杆上温度随时间与空间变化的函数
x关系设为??x,t?。
t?综合上述条件：
2xx细杆上温度??x,泛定方程
??a?t?0
???(0,t)?0边界条件 ?
(l,t)?0???x
4
初始条件 ?(x)??x/l
0由齐次方程的定解问题的求解方法求得
?(x,t)?2??(?1)??02k?0k11(k?)21221(k?)?a(k?)?x22?t 2sinle2l2将上述参数具体化，设定
?0?10?C，l?20，a?10则??x,t?可化为
2?(x,t)?20?2?(?1)k?0?k1(k?0.5)sin2(k?0.5)?x?e20(k?0.5)2?4t
2.3.3波动方程的定解条件
一根长l为两端固定的弦，用手把它的中点横向拉开距离 ，然后放手任其自由振动，写出它的初始条件。
t?0时各点的位移由图中折线确定，所以
2blx,0?x?l22bl(l?b),?x?l. l2?u?x,o????;研究两端固定均匀弦的自由振动,即定解问题是：
Utt?a2Uxx
?它的解是：
u(x?0,t)?0;u(x?l,t)?0u(x,t?0)??(x);ut(x,t?0)??(x)?
U(x,t)??(Axcosn?1n?atn?atn?x?Bnsin)sin lll其中
20n??An???(?)sind?
lll20n??Bn??(?)sind??ln?dl
5
对于有限长的弦，如果在讨论的时间范围内，边界的影响还没有到达，则产生
的现象与无限长的弦是一样的。
?sin7l?x(37l?x?47l)?(x)??0
?
3. matlab模拟结果
图1为例题1傅里叶变换的函数图像
图1
图2为例题2傅里叶变换的函数图像
图2
图3为无限长杆温度随时间和空间变化的瀑布图
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图3
从图3中可以看出，在开始时刻，温度分布在原点附近定义为一个脉冲函数，在沿着细杆的方向上，温度逐渐降低形成一个平缓的波包，并向周围传导，如果时间足够长，最终细杆上的温度为零。在前面的程序上加上以下程序，则图4表示杆上温度暂停0.1s时刻的传导情况：
图4
图5为有限长杆温度传导函数的图像
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图5
由于初始条件相同，有限杆与无限杆的温度分布是一样的，无限长的杆热传导现象只是边界条件还没有产生影响的有限杆上热传导现象的一种近似。由于在理论的计算中，n的叠加到无穷，而以上程序中n只取到50，在图像中可以看到，在x=10到11的两端，温度出现较小幅度的波动，没有无限杆的热传导温度在两端都减小而不增大的现象，而当杆长趋近于无穷时，使得两图可以近似为同一图形。
图6为有限长细杆上温度随时间和空间变化的三维曲面图
图6
从图中可以看出，在沿杆的方向上，温度是随条件定义的线性传导变化，在同
样的泛定函数下，给定不同的初始条件下，图四可近似看图三的一个部分。
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122(k?)?a22?t如果考虑先前时刻即考虑t<0,则e随k的增大而急剧增大，从而级数l解?2?x,t?发散，因为细杆上温度分布总是趋于某种平衡状态，而且只要边界条
件相同，不管初始温度是怎样分布的，总趋于同一平衡状态，所以从某一时刻的温度分布可以推算以后的温度分布，却不能反推先前时刻的温度分布，另外，对于以
122(k?)?a22?t后时刻，t>0,则e随k的增大而急剧减小，从而级数收敛的很快。t越l大，级数收敛越快。在t>0.18l222时，可以只保留k=0的项，略去k>0的项，从而
2简化?(x,t)?8??02sina?x??at22le4l2，在MATLAB的程序中也可不使用for……end
的循环语句，画出的图像也大致相同，其误差不超过1%。
4. 总结
基于理论分析，我们展示了傅里叶变换的函数图像，无限长及有限长细竿热传导温度的分布规律并作出其图像，波动方程的定解问题。其中，我们利用图像形象直观地表现了所研究的问题，且理论分析也较为透彻，有待改进之处在与所研究问题关联性不强。
5. 参考文献
【1】 梁坤淼.数学物理方法.第三版.北京：高等教育出版社，1998. 【2】 张志涌等.MATLAB教程.北京：航空航天大学出版社，2006. 【3】 彭芳麟.数学物理方程的MATLAB解法与可视化.
【4】 郑阿奇.MATLAB实用教程.第二版.电子工业出版社，2007. 【5】 周晓阳.数学实验与MATLAB.华中科技大学出版社，2002.
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